Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
vi = a(Ni + niniNi), а > 0. (4.196)
Пусть W1 будет ортогональной проекцией DV1 на 5. Внешняя компонента W1
параллельная нормали vl на ст, равна
U7.V1 * 4tDVl = a (NpV1 + nfiV'njW). (4.197)
Чтобы теорема о фиксированной точке была применима к этому случаю,
дополним (4.187) еще одним неравенством, которое гарантирует
положительность выражения (4.197) на всей поверхности ст. Пусть
Q> рй(/С2-1) (4.198)
на всей ст. Тогда из (4.184), (4.191) и (4.193) следует, что величина
положительна на всей поверхности ст, так что вектор W{ должен в некоторой
точке S обратиться в нуль. Тогда из равенства W1 = 0 можно заключить, что
вектор DV1 либо ортогонален к S, либо равен нулю. Однако вектор DV',
будучи пространственноподобным, не может быть ортогональным к 5. Поэтому
если на всей поверхности а выполняются нера-
§ 7. Замечания о движении изолированного тела
173
венства (4.187) и (4.198), то в S имеется такая точка, в
которой
DV1 = 0. Таким образом, мы нашли, как и в случае невращательного
движения, кривую С - геометрическое место точек, в которых отсутствует
ускорение.
Исследуем условие (4.198), гарантирующее существование места отсутствия
ускорения. Мы имеем из (4.180)
Ъу = s%s{\k - 2^;5тЧпП - (Sm4m)*- (4.199)
Однако
Vtsj'i = (VtS*')|j - V4,s*' = - (4.200)
так что
6V = + (S*4i)'. (4.201)
Отсюда следует, что условие (4.198) равносильно неравенству
NiS'b > (К2- 1) [S{iSi-.\ + (54Ч)2],/2. (4-202)
В этой форме полученное условие несколько сложно для того, чтобы быть
интересным. Однако для идеальной жидкости мы получим
Siy=-pW + gti), (4-203)
причем на 2 давление р обращается в нуль. Поэтому на 2
S*, = 0, " (4.204)
-P.1(VlVi + gi')= и неравенство (4.202) сводится к
-Р, > (К2 - 1) (g^P.iP.jf2. (4.205)
Но на самом деле оно еще проще, поскольку на Б р = 0 и, следовательно,
(?l1P,iP.})lh = \p.iNl\, (4-206)
так что неравенство (4.205) распадается на два эквивалентных условия
p.iN* < 0, Кг< 2. (4.207)
Если признать, что давление с необходимостью положительно, то р должно
возрастать при переходе через 2 во внутрь, поэтому первое неравенство в
(4.207) автоматически удовлетворяется в любой физической задаче. Второе
неравенство (4.207) удовлетворяется при (грубо говоря) не слишком быстром
вращении нашего тела. При этих условиях мировая трубка жидкого тела
заключает в себе кривую отсутствия ускорения.
Математические методы, привлекающие чуждые соображения, нельзя считать
совершенными. Понятие отсутствия ускорения не имеет ничего общего с
выбором сечения мировой трубки; фактически такое сечение чуждо нашей
задаче. Возможно, что существует лучший и более прямой путь исследования
явления отсутствия ускорения.
Возвращаясь на Землю (в буквальном смысле), мы можем задаться вопросом,
содержит ли мировая трубка Земли кривую отсутствия ускорения. Вероятно,
содержит, так как натяжения в Земле в значительной мере сводятся к
гидродинамическому давлению, а вращение ее слабо (или нет?). Во всяком
случае, если геофизик признает, что условия (4.207) применимы к Земле и
выполняются для нее, то, безусловно, существует линия отсутствия
ускорения. Однако следует иметь в виду полное отсутствие доводов в пользу
того, что линия отсутствия ускорения представляет собой мировую линию
какой-либо фиксированной части Земли.
Мы вновь вернемся к вопросу об изолированном теле в гл. VI, § 6.
Глава V
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛЕЙ ЭЙНШТЕЙНА
§ 1. Основная формула для запаздывающего (или опережающего) потенциала
Для запаздывающего (или опережающего) потенциала имеет место теорема,
которая настолько важна, что заслуживает несложного непосредственного
доказательства.
Напомним хорошо известное определение оператора Даламбера для
пространства - времени общего вида с метрикой который действует на
инвариант F:
aF=№i=y=ir(y^r|?). (5.D
В плоском пространстве - времени с^4 -=т)4 - = diag (1, 1, 1, -1) мы
имеем
? Г = (5.2)
причем эта формула применима и в том случае, когда F представляет собой
декартову компоненту тензора; в результате получается тензор того же
типа. При использовании криволинейных координат в плоском пространстве-
времени оператор ?, действующий на декартову компоненту, определяется
формулой (5.1); мы преобразуем оператор, не меняя F.
Для полярных координат в плоском пространстве - времени метрическая форма
имеет вид
dr2 + г2 d(Э2 + г2 sin2 0 dcp2 - dt2. (5.3)
Если перейти к координатам (и, и, 0, q>) = (х1, х2, х3, х4), полагая
r = -~{u-v), t = y^(u + ix), (5.4)
так что
ы = 7Т(*+г)' (5-5)
gi2 = - I > ёзз = Л ёа = г2 sin2 9.
g12= - 1, g33 = /""27 g44 = /"_2cosec20, (5.6)
Y - g = г2 sin 0, r2 = Y (и2 - 2uv + v2),
тогда как другие компоненты gi3- и gl} равны нулю. В этом случае формула
(5.1) дает
ди dv u - v \ ди dv J ¦
1 д f . " dF \ , 1 d2F
то получим
Л2 sin 0
1г(51"вж)+та"|?-- <5'7>
§ 1. Основная формула для запаздывающего потенциала
175
Вычислим теперь интеграл
? Fdco,
(5.8)
взятый по некоторой области на световом (изотропном) конусе с вершиной в
