Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
предостережением против таких опрометчивых заключений. Когда интерес
сосредоточен на.случае несжимаемой жидкости, естественно исходить из
уравнения (5.123). Но в математическом отношении оказывается
более удобным
уравнение (5.124), и мы, признав некоторую произвольность
своего выбора,
обратимся именно к нему.
Мы имеем 12 уравнений, (5.118), (5.119) и (5.124), связывающих 12 величин
(5.120). Однако лучше рассматривать (5.119) как условие задающее V4:
V4 = (1 + VaVa)1/s. (5.126)
Следовательно, теперь мы имеем 11 неизвестных
gap. Уа, е. Р> (5.127)
которые должны удовлетворять 11 уравнениям (5.118) и (5.124). Согласно
(5.93) и (5.94), уравнения (5.118) эквивалентны следующим:
#ap + ^ap = 0, 7}ц = 0,
с условиями совместности
G" + x74i = 0.
Если учесть, что
Т = 3р - р = 4р-е,
П = еУ iVj+(4 q - р) g^, то из первого уравнения (5.128) аналогично
(5.95) получаем
gap, 44 = 2#ap ~ Y Agap, 4 -f g^gan, 4gpv, 4 +
-f 2xQVaVp + x (e - 2 p) gap.
!) To есть оказались бы исключенными взаимодействия между частицами
среды.- Прим. ред.
2) "Без источников и стоков" в том смысле, что дивергенция равна нулю.
- Прим.
ред.
(5.128)
(5.129)
(5.130)
(5.131)
§ 6. Проблема Коши для идеальной жидкости
191
Второе уравнение (5.128) дает
+ />,; = 0- (5.132)
Условия совместности (5.129) выглядят, как и в
(5.99), следующим
•бразом:
A,a D gao, 4 "Ь 2х()УаУ4 = О,
(5.133)
R - ^ Лг + В + 2xqVI- 2хр = °.
В качестве данных Коши на гиперповерхности х4 = 0 зададим
значения
gap> gap, 4" Ка, Q, р, (5.134)
выбранные с учетом (5.133), и будем искать величины
gap. 44" Ка, 4, Q,4 P,i- (5.135)
Теперь gap, 44 заданы посредством (5.131), а для определения
остальных
няти величин в (5.135) мы имеем пять уравнений, входящих в (5.124) и
(5.132). Полагая в (5.132) / = 4, получаем
Рл= -QVlVih, (5.136)
откуда рЛ определяется сразу же, как только найдены Va, 4.
Полагая
в (5.132) / = а, получаем
К4К", 4 + КРКа. р- Г?аК'К* + e'V.a = о, (5.137)
откуда определяются Уа, 4- Обратимся, наконец, к уравнению (5.124). Из
него найдем
6.^ + 6^ = 0, (5.138)
или
e^ + Q.aWeK^o, (5.139)
откуда определяются q,4. Таким образом, с помощью уравнений (5.131),
(5.137), (5.139) и (5.136) мы выразим величины (5.135) через данные Коши
(5.134).
Необходимо еще рассмотреть условия совместности (5.133). В случае
вакуума, 4 условия совместности (5.107) связывали 12 величин. В данном
случае 4 условия совместности (5.133) связывают 17 величин (5.134).
Запишем эти условия в более удобной форме, полагая, как и в (5.106), что
Фар = gap. 4- (5.140)
Тогда эти условия' дают
<a-^||p + 2xeKaK4 = °,
(5.141)
^ ~ Т р)2 + Т Ч'р^а + 2xQVl - 2%Р = О-
Очевидно, что при таком избытке "лишних" величин невозможно установить
однозначный способ решения. В поисках пути исследования наших уравнений
можно попытаться найти решение, соответствующее линейному приближению. В
качестве такого пробного варианта положим
gap = 6ap + Ya0" (5.142)
192
Г л. V. Некоторые свойства полей Эйнштейна
и рассмотрим уар как малые. Кроме того, будем считать малыми
величины грсср и Va, так что V4= - 1. Тогда система (5.141)
сведется к сле-
дующей:
Фрр.а - фар. р - 2хдУа = 0, (5.143)
Ауаа - Yap. ар + 2хр = 0, (5.144)
где А -евклидов оператор Лапласа. Итак, здесь фар и уар разделены.
Положив
фар = 2 (па, Р + Щ, а) - 5арУу. У> (5-145)
мы удовлетворим уравнению (5.143), если выберем va в виде
(5.146)
(будем помнить, что х = 8я). Полагая же
Yap = 26apX. (5.147)
мы удовлетворим уравнению (5.144), если выберем % в виДе
(5.148)
5
В формулах (5.146) и (5.148) г - расстояние! (в евклидовой метрике) между
элементом объема dv и точкой, в которой вычисляется va или %. Действуя
таким образом, можно получить решения линеаризованных условий
совместности (5.143), (5.144) при произвольных Va, ри Q. Было бы
неразумно придавать слишком большое значение этим результатам самим по
себе. Их следует использовать лишь как отправной пункт при вычислении
точных решений точных условий совместности (5.141). Именно так мы и
поступим. Но поскольку, как уже отмечалось, мы занимаемся центральной
проблемой небесной механики, полезно еще раз четко сформулировать задачу.
Мы имеем четыре координаты х1, причем х4 - временноподобна. Уравнения
(5.131), (5.136), (5.137), (5.139) и уравнения, полученные из них
посредством дифференцирования по х4, определяют через данные Коши (5.134)
коэффициенты в следующих степенных рядах:
gap = (gap)o + *4 (gap, 4)0 + J (*4)2 (gap, 44)0 + • • •.
Уа - (Уа)о_Ь'*4(^а, 4)о_Ь_2 (х*)2 (^а,44)о"Ь • • •"
(5.149)
q - (е) о + *4 (е, 4)0+j (х*)2 (е. 44)0 + • • •.
р = (р)0 + X4 (р, 4)0 + ^ (X4)8 (р, 44)0 +-
Однако этими рядами нельзя воспользоваться, пока не решены уравнения
(5.141). Для создателя вселенных1) (см. гл. IV, § 6) это не составит
проблемы: он может произвольным образом выбрать фар, gap и р и искать
решение для q и Va. учитывая (5.126). Но у него не будет уверенности в
том, что Q окажется положительной, и вполне возможно, что построенные
