Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Это и есть те уравнения, которые нам предстоит исследовать. Мы
подходим теперь к основному и очень любопытному месту в
рассуждениях.
Если положить для краткости
г]а6АаЬ = А, (5.24)
то (как легко проверить непосредственным вычислением) в силу (5.20)
b;iab( A,b-Y Wl) = Tia4,-, ab = ? А,- (5.25)
где ?- оператор Даламбера. Это -ключ к решению задачи. Выберем в качестве
пробного решения уравнения (5.23) функцию
Yi}(Р') = С ^ (А,- (5.26)
где С -константа, а интегрирование проводится по произвольной области
изотропного конуса с вершиной в точке Р', причем dm элемент 2-объема
(будем помнить, что мы работаем в плоском пространстве - времени).
Подействуем теперь на (5.26) оператором L и продифференцируем его под
знаком интеграла, что эквивалентно смещению изотропного конуса. С помощью
(5.25) и (5.14) получаем
ь;;"Ч,ь(П =с ^ Li)"b(Aab-1 тил) ^ =
= ? А,- Л" = - 4яСА,- (И- (5.27)
Таким образом, (5.26) удовлетворяет уравнению (5.23) при условии, что
4яС = 2х, С = ^-. (5.28)
Мы получаем, таким образом, следующее частное решение (5.21):
Yii (Р') = ^ (¦АЧ ~ Y ЧчА) da)' (5-29>
Это имеет место при любом х, Если, как и в (4.110), положить х = 8я, то
Уц(Р') =4 J (А;--,.Д) dm. (5.30)
Это точный математический результат, который нам потребуется в
дальнейшем. Возвращаясь же к качественному приближению, выпишем формулу
(Эйнштейн [2601, Паули [881], стр. 173)
gij(n = riij+-~ 5 (^ii Яи7') ret г1 dx1 dxt dx*. (5.31)
12 Дж. Л. Синг
178
Гл. V. Некоторые свойства полей Эйнштейна
которую можно рассматривать как приближение к метрическому тензору,
обусловленному тензором энергии Tij. Здесь интегрировайие проводится по
всему пространству, a ret означает запаздывающее значение (как
математики, мы могли бы с равным основанием использовать и опережающие
значения, однако физик, усматривающий в данной формуле каузальный смысл,
естественно, предпочитает запаздывающие значения).
§ 3. Статическое поле Эйнштейна в присутствии тел
Астроном-ньютонианец, не знающий теории относительности, проникает в
тайны Вселенной благодаря своей могучей интуиции, приобретенной скорее
благодаря тренировке"живого воображения, нежели вследствие изучения
научных проблем. Чтобы оценить гравитационное притяжение Земли Солнцем,
он может представить себе, что оба тела покоятся, удерживаясь на
расстоянии с помощью огромной подпорки. Оценим входящие в такую задачу
величины, для чего сделаем несколько расчетов.
Воспользовавшись значениями масс, приведенными в сводке (4.137), и приняв
расстояние от Земли до Луны равным 1,494-1013 см = = 4,986 -102 сек,
находим, что
Гравитационная сила \ _ 9 Q97 in-гг, ,г о9\
между Солнцем и Землей ш (0.3Z)
Если бы эта сила уравновешивалась с помощью колонны, поперечное сечение
которой равно поперечному сечению Земли (т. е. колонны радиуса 2,125-1(Г2
сек), то давление в колонне было бы равно
р = 2,063-10~19 сек*. (5.33)
Это равно приблизительно 3-108 атм, так как давление в 1 атм равно
приблизительно 1 бар, причем
1 бар= 106 дин-смГг = 7,№- 10'2* секГ*. (5.34)
Заметим, что малая величина силы в формуле (5.32) имеет физический смысл,
так как эта величина безразмерна. Было бы бессмысленно утверждать, что
давление (5.33) велико или, наоборот, что оно мало,- все зависит от того,
с чем мьгего сравниваем.
Переходя к теории ' относительности, интересно построить модель, в
которой тела удерживаются в покое относительно друг друга с помощью
материальной среды, заполняющей пространство между ними. Мы располагаем
аппаратом, позволяющим строить такую модель, обходясь без каких-либо
приближений, и мы построим ее. Выполняя точные вычисления1), мы исключаем
возможность полемики о качестве наших рассуждений и получаем формулы,
которые могут оказаться полезными в применении к задачам, представляющим
более прямой физический интерес. В целях удобства геометрического
описания будем считать х\прямоугольными координатами в плоском
пространстве -времени с метрикой T]i?-. Возьмем некоторую функцию f (х1,
х2, х3), произвольную с точностью до условий непрерывности и обращения в
нуль на бесконечности. Что касается непрерывности, то на самом деле было
бы достаточно взять f кусочно-непрерывной, но проще сначала предположить
самую высокую степень гладкости, а случай разры-
*) Эти рассуждения можно рассматривать как точную трактовку (без
использования изотермических координат) задачи, приближенное решение
которой дал Казн ([142], стр. 153).
§ 3. Статическое поле Эйнштейна в присутствии тел
179
вов разобрать с помощью предельных переходов в заключительной части
рассуждений. Определим следующим образом:
Ам = /. (5-35)
а все другие компоненты равны нулю. Очевидно, уравнение (5.20) будет
удовлетворено. Мы имеем
Л = т)'Ч;= -Ам= (5.36)
и из формулы (5.30) следует, что
Уар(Р')=барф, Уа4(Р')=0, у44(Р') = ф, (5.37)
где
Ф = 2 ^ / dfi>. (5.38)
Здесь интегрирование проводится по области прошедшего на изотропном
конусе с вершиной в Р'. Эквивалентно можно записать
