Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
D2ф = QtD2r + QtJ. (2DKiAi + VDA>) +
+ Qy, (2DKlAyS + llAyDS) + QijkVAJ'Ah +
+ 2Qijk.XiAsAk'S + (3.109)
D3 ф = Q.D3*,4 + Qt. (3D2KiAj + 3 DVD A1 + DD2A]) +
+ Qir (3D2XlAj'S + 2DVArDS + llAj'D2S) +
-f Qijh (SDVA'A* + 2XlDAjAk + ADA*) +
+ Qyh, (6DX*i4Mh'S + 3X4?MMfc'S + 3XMMh'DS) +
+ Qti.h, (3 ОХ*А''Ак'8* + ЗГ Ar Ah' SDS) + QijkmXiA}'AhAm+
+ 3Qijkm,XiAiAhAm'S + SQijkwh* A'Ah> Am'S2 +
+ Qij'k'm'VAj'Ak'Am'S3. (3.110)
Возьмем теперь ^* = Л*. В этом случае вследствие (3.107) ф = 0.
Следовательно, D($, D\ и D3ф обращаются в нуль; то же самое имеет место
для соответствующих пределов совпадения. Обращаясь к перечню пре-
§ 9. Падающее яблоко
123
долов совпадения (2.69), получаем из (3.108)
[S] = l. (3.111)
Из (3.109) следует, что
[DS] = 0, (3.112)
а (3.1Ю) приводит к соотношениям
[D2S]=-262, b* = DAiDAl, (3.113)
где Ъ - первая кривизна кривой С в точке О. При
выполнении предыдущих вычислений мы использовали тот факт, что
[Av] = [Al] и то
обстоятельство, что [Qij7lrn] обращается в нуль, будучи трижды свернута с
одним и тем же вектором.
Выберем теперь V так, чтобы он был ортогонален к кривой С, т. е. чтобы
было
= 0, (3.114)
но без каких-либо других ограничений в настоящий момент. С помощью
(3.111) - (3.113) получаем из (3.104), (3.108) -(3.110) следующие пределы
совпадения:
[Ф]=0, [Dq>] = 0, (3.115)
[D*q>] = (3.116)
[D\] = 3DV DAi + VD^, (3.117)
где члены, стоящие справа, взяты в точке О. Нам потребуется также и
[?>4ср]. Нет никакой необходимости выписывать ГАср, поскольку
дифференцирование соотношения (ЗЛЮ) нетрудно выполнить в уме и найти
предел совпадения сразу же, так как многие члены при этом обратятся в
нуль. Таким образом, получаем
[D4cp] = 6D2klDA{ + 4DV DMt + KiDsAi +
+ 662 DV A{ + DAm, (3.118)
где мы учли, что Simjh - Sijmk = Rikjm [см. (2.69)]. Следовательно, для
любого вектора А,4, удовлетворяющего (3.114), разложение (3.105) имеет
вид
Ф" =ф2 [D2ф] +1 s3 [D3ф] + ^4 [D\] + 0" (3.119)
причем вид коэффициентов задается выражениями' (3.116) -(3.118).
Два способа выбора V, совместные с условием (3.114), представляют особый
интерес. Во-первых, в качестве К1 можно взять один из векторов 3-репера
Ферми; во-вторых, можно потребовать, чтобы он был одной из главных
нормалей к кривой С.
Принимая, что V - ферми-вектор, мы получим следующие уравнения:
DX^AWDAj,
DX,M,= - XlDAit DVDA^O, (3.120)
D'kiD2Ai = -b*XlDAit
D2V = DAiVDAj + A'DKDA, + AikiD2Aj, D2'kiDAi = bWDA..
Откуда следует, что
ф (S) = 1 s2?^, +1 s3'kiDiAi + ^s4 (KiD3Ai -
- 4b^DAi + ЯШтЯ,ММкШт) + Ot. (3.121)
124
Гл. III. Хронометрия в римановом пространстве - времени
Проставим теперь всюду лоренц-индекс (а), так чтобы V(a) означал
3-репер Ферми. Тогда вследствие (2.185) первые три ферми-координаты точки
Р' равны
Х(а)=-а^}а), (3.122)
т. е. равны ср, взятой с обратным знаком. 'Таким образом, в координатах
Ферми падение яблока описывается формулой
Х(а) = - 4 s2 (DA\a) - i s3 (D2A)(a) +1 s4 (4b* (DA)(a) -
- (D3A)(a) - Я(а44р) (Ш)Ф> i 06. (3.123)
Здесь s -время, регистрируемое с помощью часов, помещенных на ветке
дерева (фактически это четвертая ферми-координата), а индексы в скобках
означают компоненты относительно 3-репера Ферми, вычисленные в точке О,
т. е. в точке, из которой начиналось падение яблока.
Выразив производные 4-скорости А1 через главные нормали и кривизны линии
С, можно записать эту формулу в другом виде. В силу формул Френе -Серре
(1.55) имеем
DA1 =ЬВ1,
D2Ai=b2Ai-'rDbBi + bcCi, (3.124)
D3Al = 3bDbA1 + (D2b + b3 - be2) B' + (bDc + 2cDb) Cl + bcdD1,
где Вг, С1 и D1-соответственно первая, вторая и третья единичные нормали,
а Ь, с, d - первая вторая и третья кривизны линий С. Таким образом,
(3.123) можно записать в виде
(а) ;
s2bB
1
(DbB(a) + be С(а)) -у 1 s4 (З63 - D% + be2) В
(a) g" * WOn(a)
(bDc -f 2cDb) С(a) - be dD(a)
5(a)
- 6/?(a44P)B(P)} г Ob.
(3.125)
Во избежание недоразумений, заметим, что, хотя, здесь и были введены
главные нормали, в последующих формулах координаты Х(а) отнесены к 3-
реперу Ферми.
Используем теперь в качестве систем координат главные векторы С, полагая
поочередно
%} = в\ Г=С\ Х = Т>\ (3.126)
В этой координатной системе координаты Р' имеют вид
y(1) = -syj4, У(2) = - Й4С , ,(3) =
Чтобы вычислить эти координаты для падающего яблока, нам придется
вернуться к уравнениям (3.115) - (3.118) и подставить в них %г из
(3.126). Тогда, пользуясь лоренц-индексом, аналогично (3.127), получаем
QD1.
(3.127)
[D2 ф]( [D3 ф](
[D^h
[& ф](2
[D\}(2 [Д4 Ф](2 [D2 Ф](3 [D3 ф](3 Р4 Ф](3
= BlDAt = b,
= 3DBiDAi -f В102Аг = Db,
= D2b - 3b3 - 3be2 - г (i /, 41);
= 0,
= - 2 be,
= - 56Dc - 2cDb ?>/?(244i)', = 0,
= 0,
= 3bcd -|- bR (з 4 4))
(3.128)
(3.129)
(3.130)
§ 9. Падающее яблоко
125
В стоящих справа /^-членах компоненты тензора Римана берутся в репере,
образованном векторами Вг, С , D1 и А\ Таким образом, учитывая знак минус
в (3.127), мы имеем
Т( 1) = -1 bs2 - - -6- зЮЬ + ^ s4 (ЗЬс2 + Ж - D2b - 6Я(144 о) + 05,
