Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(rep,
^12 - Tl/i2J
Ца2) = тУ(а2)-
(3.152)
J) Это - один из примеров того фундаментального факта, известного r общей
теории относительности, которому часто дают абсурдное название парадокса
часов.
2) В какой-то мере аналогичная проблема красного смещения для искусствен-
ного спутника рассмотрена Зингером [1111]. Гоффманом [455] и Дэсом [191].
§ 10. Проблема баллистического самоубийства
129
Но в силу (2.269) мы имеем
= ""2 °2 {(^)(") -g ° (02Л) (а) | + 01(
, ; ! ; (3.153)
Ца2) - "уО2 |(^)(а) +"б СТ (^2-^)(а)| + 04,
где Л-члены вычислены в точке Q0. Отсюда и вследствие (3.148) и (3.152)
начальная и конечная скорости определяются формулами
У(ао ={о (DA)(a) - ^а2 (DM)(ct) + 03,
, , (3.154)
= - Y a (Di4)(a) - J2 а2 (DM)(a) + 03.
В первом приближении мы имеем
^("1) = ~2 °ЬВ(и) Т о.,, V(а2) =-уОбВ(а) + 02, (3.155)
т. е. снаряд движется вдоль первой нормали к С и возвращается
обратно
вдоль этой нормали. Далее, как известно, для наиболее скорого
самоуничтожения земного наблюдателя на Земле он должен запустить снаряд
вертикально вверх со скоростью 1/2ga, где а -время полета. Следовательно,
мы проверили утверждение, которое было доказано в § 9: первая нормаль к
мировой линии земного наблюдателя направлена вертикально вверх, и ее
первая конечная кривизна b равна, как и в (3.133), g.
Однако скорость не равна в точности начальной скорости с обратным знаком,
так как в силу (3.154) и (3.124)
Уш + У ш (DM) (a) + 03= -J a2 (DbBm) + ЬсСт) + 03, (3.156)
где Db - db/ds в точке Q0. Обращаясь к фиг. 44, мы видим, что в земных
условиях этот 3-вектор имеет составляющую 1/6a2Db (в направлении- В1) и
составляющую 1/во26с, направленную к западу (в направлении- С1).
Таким образом, мы убеждаемся, что опыт, состоящий в баллистическом
самоубийстве, позволяет в принципе определить первую и вторую нормали к
мировой линии наблюдателя (В1, С1), а также Ь, с, db/ds, причем
наблюдаемыми величинами оказываются время полета от и 3-вектор,
фигурирующий в (3.155) и (3.156). Что касается численных данных в земных
условиях, то значения бис (на экваторе) определяются формулами (3.133) и
(3.138). Если выбрать а согласно формуле (3.151), то получим
у ab = 2,137. КГ6, ^о2Ьс = 6,805 -КГ9. (3.157)
Эти члены входят в формулы (3.155), (3.156) как безразмерные и фактически
выражены в долях скорости света. В более привычных единицах имеем
Л. ab = 6,41 • 104 см/сек, а2Ьс - 204 см/сек. (3.158)
Эти цифры дают представление о значениях величин, с которыми мы имеем
дело. Разумеется, следует помнить, что мы здесь ограничены рамками метода
(изложенного в гл. 11, § 13), который основан на разложении в степенные
ряды, и что этот метод применим лишь в весьма ограниченной области
пространства - времени. Задача о самоубийстве с помощью снаряда,
130 Гл. Ill. Хронометрия в римановом пространстве - времени
достигшего, например, точки в непосредственной близости к Луне и затем
возвратившегося на Землю, была бы совершенно вне возможностей этого
метода.
§ 11. Статическое измерение гравитационных полей
В § 9 было показано, что наблюдение падающего яблока позволяет получить
сведения о мировой линии наблюдателя. Однако оказывается, что такие
наблюдения проливают весьма слабый свет на "силу" (напряженность
гравитационного поля'), т. е. на компоненты тензора Римана Rijhm. Правда,
в формулу (3.131) входит зависимость от этих компонент, однако лишь через
посредство других членов.
Перейдем теперь к вопросу о возможности измерения характеристик
гравитационного поля с помощью экспериментов, которые можно назвать
статическими по аналогии с общеизвестным статическим опытом, в котором
два тела с одинаковыми массами т взвешиваются на разной высоте: одно -на
чердаке, другое -в подвале. В ньютоновской физике разность между
определенными таким образрм весами, деленная на разность высот, на
которых взвешивались два тела, и на т, дает скорость изменения
напряженности гравитационного поля. Попытаемся выяснить смысл аналогичным
образом полученной величины в теории относительности.
На фиг. 46 С0- мировая линия наблюдателя. Когда он роняет некоторый
предмет, мировая линия предмета отклоняется от С0, но пока этот предмет в
его руках, она совпадает с С0. Если Л1(= dxl/ds) есть 4-скорость
переносимой вдоль С0 частицы с массой т, то действующая на нее 4-сила
равна
F* ~ т = тЬВ1, (3.159)
где Ь - первая кривизна С0, а В1- ее первая единичная нормаль. Поскольку
среди физиков, работающих в рамках ньютоновской механики, существуют
расхождения в мнениях по вопросу о логическом статусе понятия силы, то
было бы неразумно с излишней педантичностью настаивать здесь либо на том,
1) что уравнение (3.159) есть определение силы, либо на том, 2) что
(3.159) есть закон движения, в который входит уже принятое понятие 4-
силы.
Независимо от нашей точки зрения на уравнение (3.159) величину F1 можно
рассматривать как статически измеримую (например, с помощью пружинных
весов) и, следовательно, наблюдатель может определить статическим
