Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
линии С(г^У1 = 0) и лежащий в двумерном элементе, содержащем касательную
к С в точке Р и отрезок Р'Р. Определим скорость удаления С'
Vr^v/ = v(a)r<-a\ (3.36)
где - компоненты г1 в данной системе отнесения.
Рассмотрим теперь эффект Допплера двумя способами -с механической точки
зрения и в терминах частоты.
Обратимся к механическому рассмотрению. Возьмем фотон, мировая линия
которого совпадает с Р'Р, и пусть он испускается из точки Р'\ лежащей на
линии С', 4-импульсом р1', так что энергия излучения,, согласно (3.23),
равна
E'=-pvVx'. (3.37)
Этот 4-импульс переносится параллельно вдоль Р'Р (см. § 3), и , следо-
вательно, в точке Р мы будем иметь
PiV^PcV1', (3.38)
так как при параллельном переносе двух векторов вдоль одной и той же
кривой их скалярное произведение остается постоянным. Таким образом,
в силу (3.37)
(3.39)
Энергия фотона относительно С равна
E=-PiVl= -р(4) = р<4> (3.40)
и, следовательно, из (3.39) получаем
ДУ4) - Р(а)Ц(сх) = Е'. (3.41)
Из определения г1 с учетом изотропности рг, имеем
р4 = 0(У'_г*), (3.42)
где 0 -некоторый скаляр. Умножая (3.42) на У(, находим, что
0= -PiVl = E. (3.43)
112 Гл. III. Хронометрия в римановом пространстве -
времени
Следовательно,
Рщ)^а) = Р№(аУа) = - ?л(а)и(а) = - Evn.
"*)
(3.44)
Подставляя это соотношение в (3.41) и учитывая (3.35), получаем следующую
связь между Е, энергией фотона в момент достижения им точки р, и Е', его
энергией в момент излучения в точке р':
(3.45)
E[(\ + v*)42 + vr] = E'.
Это и есть эффект Допплера в энергетическом представлении. Красное
смещение задается формулой
Е' - Е ?'
1
(3.46)
причем отрицательное красное смещение представляет собой фиолетовое
смещение. Когда относительная скорость мала, мы получаем
Е' - Е " , 1 " ,
-?т- = Рв-Од+2-о2 +
(3.47)
где основной вклад, очевидно, вносит радиальная скорость va.
Чтобы исследовать эффект Допплера в частотном представлении, рассмотрим
(фиг. 41) набор соединяющих линий С' и С изотропных
геодезических, каждая из которых соответствует траектории гребня волны.
Если таких гребней п, a ds', ds - хронометрические меры элементов P'Q' и
PQ соответственно, то
n - v'ds' = vds, (3.48)
где v' и v - частоты излученной и принятой волн соответственно.
Следовательно, эффект Допплера в частотном представлении выражается
формулой
v ds'
v'
ds
(3.49)
Фиг. 41. Эффект Допплера (для частоты).
так что он зависит лишь от соотношения между мерами соответствующих
элементов, когда С' от сражается на С с помощью изотропных гео езических.
Такое отображение было рассмотрено в гл. I, § 6, где использовались лишь
другие обозначения (теперь V1 - 4-скорость). Если ц1 -вектор отклонения,
проведенный от Р'Р к Q'Q, то второе из условий (1.133) дает
f\iPl = , (3.50)
где р1, как и ранее, означает 4-импульс. Но
r]i = yi ds, r)i< - Vi' ds',
г)У=- Eds, rU'P*'-- ?'ds',
где, как и ранее, Е и Е'- энергии. Комбинируя эти соотношения с (3.49) и
(3.50), получаем v/v' = ds'/ds - Е/Е' и, следовательно, в силу (3.46) для
красного смещения в частотном представлении
1 - 1 2 .
¦ v2 + . .. .
(3.51)
1-
(l+D^+lto.
= VB
(3.52)
§ 8. Перенос Ферми и отражающийся фотон
113
Квантовое уравнение Е = hv (h - постоянная Планка) в приведенном выше
расчете не использовалось; разумеется, оно ему не противоречит. Ясно,
что, вообще говоря, наблюдатель, следящий за светящимся источником,
заметит спектральное смещение - радиация, испущенная с частотой v'
относительно источника, будет иметь другую частоту v относительно
наблюдателя, осуществляющего прием.
Касаясь вопроса о причине спектрального смещения, следует отметить, что,
как это видно из (3.52), спектральное смещение обусловлено относительной
скоростью наблюдателя. По существу это и есть эффект Допплера в
первоначальном смысле этого слова. Этот эффект не имеет никакого
отношения к гравитации, так как в наших формулах тензор Римана нигде не
фигурирует1).
Это положение противоречит часто встречающемуся в работах по общей теории
относительности утверждению о том, что причиной красного смещения
является гравитационное поле. Рассуждения, касающиеся этого вопроса,
совершенно ошибочны, так как представляют собой крайне поверхностные
попытки толковать явления без необходимого анализа смысла употребляемых
терминов. Приняв равенство (3.33), мы взяли на себя ответственность за
некоторое определение относительной скорости; не приняв этого
определения, также нельзя было бы принять и утверждения о том, что
причиной спектрального смещения является относительная скорость. Любое
недоразумение, которое здесь может возникнуть, обязано лишь тому, что
слишком большое внимание уделяется статическим гравитационным полям, для
которых справедливо определение скорости, не имеющее смысла в
нестатических случаях.
Поскольку это нам понадобится в дальнейшем (см. гл. VII, § 9; гл. VIII, §
3; гл. XI, § 9), заметим, что в силу (3.37) и (3.40) красное смещение
можно выразить через производные мировой функции й (Р'Р) следующим
