Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
образом:
. (3.53)
QyVi'
§ 8. Перенос Ферми и отражающийся фотон
Мы переходим к описанию эксперимента, с помощью которого наблюдатель
может выяснить, претерпевает ли некоторая заданная система координат
перенос Ферми. Этот эксперимент весьма прост, и описать его можно в
обычных физических терминах. В качестве наблюдателя можно выбрать
человека, находящегося на поверхности Земли. Его прибором служит фотонная
пушка, которую мы условимся здесь представлять себе как трубку, из
которой можно выстрелить фотоном в том направлении, в каком она
установлена, и через которую фотон можно принять (аналогично случаю с
телескопом). Наблюдатель запускает в воздух нечто вроде воздушного шара
и, тщательно прицелившись, дает из своей пушки "пулеметную очередь"
фотонов, стараясь попасть в шар. Фотоны испытывают рассеяние и один из
них возвращается обратно к наблюдателю. Если последний будет не
внимателен, он может не поймать этот фотон, так как может случиться, что
его пушка будет неправильно ориентирована. Но предположим, что фотон
наблюдателем пойман. Тогда относительно любой системы координат,
1) Это было установлено Ланчосом [583]; последний исходил из несколько
иной аргументации.
114 Гл. III. Хронометрия в римановом пространстве -
времени
которую может использовать наблюдатель, существуют два направления,
представляющие интерес: направление, в котором фотон вылетел из пушки, и
направление пушки в момент принятия ею фотона.
Далее, если расстояние от наблюдателя до шара есть величина первого
порядка малости, то время "путешествия" фотона - величина того же порядка
малости, ибо мы так определили длины (или расстояния), что "скорость
света" у нас оказывается равной единице. Если даны две системы координат,
движущиеся одна относительно другой с конечной угловой скоростью, то за
то же малое время одна система координат повернется по отношению к другой
на угол первого порядка малости. Если окажется, что обе ориентации пушки
(при испускании и при поглощении) совпадают в одной системе координат, то
расхождение в ориентациях пушки, измеренное в другой системе, будет
первого порядка малости.
Если наблюдения выполняются над множеством шаров и если для некоторого
закона переноса системы координат ориентация пушки при
излучении и приеме одна и та же'для?каждого?шара, то ясно, что этот опыт
выделяет некоторый!, частный закон переноса. Как мы убедимся с (помощью
вычислений, этот закон и есть не что иное, как перенос Ферми. Однако
поскольку можно рассчитывать на получение из проблемы отражающегося
фотона более обширную информацию, мы выполним вычисления с более высокой
степенью точности, чем была бы необходима для установления этого важного
свойства переноса Ферми.
Приведенным выше пояснениям придан ква-зиньютоновский характер, чтобы
убедить читателя, относящегося с недоверием к пространственно-временным
схемам, что предложенный опыт вполне физичен. При этом следует учесть,
что здесь принята некоторая идеализация (допустимая при любом
теоретическом обсуждении). Существо дела в действительности выглядит
гораздо проще, если работать в рамках пространственно-временной
геометрии. Полное представление о рассматриваемой ситуации дает фиг. 42,
на которой изображены мировая линия наблюдателя С, точка Р', в которой
фотоны сталкиваются с шаром и рассеиваются, точка испускания фотона Q1 и
точка приема Q2; QXP' и P'Q2 представляют собой изотропные геодезические,
изображающие траектории фотонов. Чтобы не загромождать рисунок,
ортонормированные
3-реперы, представляющие систему координат в точках Q1 и Q2, на нем не
изображены.
В качестве математического построения проведем пространственноподобную
геодезическую NP', ортогональную к С, и обозначим через Р текущую точку
на дуге QXQ2. Через s обозначим время наблюдателя в точке Р, причем s = 0
в точке N. Положим NP'= а и обозначим через р1 единичный вектор,
касательный к NP' в точке N. Степень приближения определяется малостью а
(а = Ох).
Прежде чем начать вычисления, заметим, что геометрия фиг. 42 определяется
в данном пространстве - времени кривой С и точкой Р'. Кривая С определена
точкой N и данными Коши в этой точке, а именно, 4-скоростью Л* и ее
производными DA1, D2Al ... , где D = б/бs (оператор абсолютного
дифференцирования). В этом случае Р' определяется через а и р\ Таким
образом, если s = sx в Qx и s = s2 в Q2, то s1 и s2 определяются
перечисленными выше величинами. Первый шаг в наших вычислениях состоит в
нахождении sx и s2.
с
Фиг. 42. Перенос Ферми и отражающийся фотон.
§ 8. Перенос Ферми и отражающийся фотон
115
Так как Р перемещается вдоль С, мировая функция й (РР') зависит от s, и
можно разложить ее в степенной ряд следующего вида:
Й (РР') = Й + яЦА* + i s2 (Й*0А* + Й"А*АУ) + + ^s3 (QlD2Ai + 3QyDAM* +
Й^АММ*) + + ~ s4 (Й^А* + 4QijD2AiA} + ЗЙyDA'DA' +
+ БЙ^ИАММ* -f Й^АМ'ОА* +
+ й1ЯктЛ'ЛММ(tm)) + 04: (3.54)
Справа Й = Й(УР') и дифференцирование выполняется относительно У.
