Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
При вычислении коэффициентов мы учли тот факт, что йу = йя в самом
общем случае. Итак, имеем точные соотношения
Й (NP') = jo\ Qj (NP') = - стр4. (3.55)
Разлагая в ряд относительно NP', имеем
Qi} (NP') = [Йу] + ap* [Qyfc.] +1 a2pftpm + 0" (3,56)
(r)ijk (NP') = [Цуй] + crpm [Qyfan'] + Oo, &Цкт(МР') = [Йу^ + Оц
где [ ] означает предел совпадения при P'->N. Учитывая
(2.69),
получаем
й^ (NP') - g{j + у а25уйтр*рт + ^з>
^tjft (NP)=-cr5ijftmpm + 02, , (3.57)
Qijkm (NP') = Sijbn + Oi, где gjj и симметризованный тензор Римана Sijkm
вычислены в точке N. Подставим теперь (3.55) и (3.57) в (3.54) и
используем следующие
равенства:
Л4[Р = 0, AjA1 = - 1, AiDA1 = О,
А^А1 + DAJDA1 = 0. (3-58)
Мы получим
й (РР') = 1 a2 -i s2 (ayiDA + 1 - ± а^у^ЛМУц") -
I " . i . (3-59)
- -N s3aHiD2Al - ~ ADAiDAx -\- 05.
Тогда в силу (2.69) и (1.99) имеем
5^тЛМУУ"= -|/?4|1,тЛ4ц*ЛУ" = 4/С, (3.60)
где К - риманова кривизна двумерного элемента, определенного в точке
N
через Л1 и р1. Имеем также
DAjDA* = 62, (3.61)
где Ь - первая кривизна линии С в точке N. Таким образом, (3.59)
можно переписать в виде
2Й
(РР') = О" - s2 (1 + opiDA1 - 4 о2к) - 4 s3oniD2Ai -1 s4?>2 + 06. (3.62)
116
Гл. III. Хронометрия в римановом пространстве - времени
Для нахождения sx и s2 нужно положить Q(PP') = 0. Ясно, что
si> s2 = ri(T-|-02, (3.63)
где т) = - 1 для Sj и 1]= 1 для s3. Тогда при определении Sj и s2 формула
(3.62) приводит к простому квадратному уравнению
s2 (1 -; a^DA1 - -i ог2Д) = М (or, tj) + Оъ, (3.64)
где
М (а, п) = а2 -цаДцПМ1 - ~ а462. (3.65)
Итак, находим
ч = J-1 Tf Jr°i' s2=4T + Y^h°4' (3-66';
где
Т :
2o - a^DA1 -j- o"(l/C-i Ь2 +1 (рРАу)
(3.67)
Таким образом, время путешествия фотона из точки (Д в Q", равно
s2-Si = t + 04. (3.68)
Заметим, что если С - геодезическая, то
х 2а f Ка3. (3.69)
До сих пор в наших выкладках нигде не фигурировали направления
распространения ни испускаемого, ни принимаемого фотонов. Чтобы
рассмотреть эти направления, введем 4-репер Ферми ДД на С; каждый из этих
четырех векторов удовлетворяет уравнению переноса Ф -У (1.72):
D)J = X.j (АРА - ADA1). (3.70)
Здесь Д4) = Лг, т. е. текущему вектору 4-скорости С. Далее, - (6ДР')
и - Ql (Q2P') - изотропные векторы в точках Q1; Q2, касательные к
изотропным геодезическим 6ДР', Q.2P', исходящим из точки, где находится
наблюдатель, в направлении шара, как показано на фиг. 42. Разумеется,
направление излучения совпадает с направлением движения вылетающего
фотона, а направление приема совпадает с направлением движения падающего
фотона (взятым с обратным знаком). Таким образом направляющие
коэффициенты (косинусы) направления излучения и приема имеют вид
0<а)= -Хад*)=-ХЦа), (3.71)
где % - положительный скаляр, такой, что
x-2 = fi(o)Q<")= -fi(4)fi<4) = (Q(4))2. (3.72)
Последнее вытекает из изотропного характера векторов Q1. Теперь
П(4) < О, й(4) > 0 в точке (Д,
П(/,) > О, й(4) < 0 в точке 6Д
я, следовательно,
§ 8. Перенос Ферми и отражающийся фотон
117
Таким образом, направляющие коэффициенты для излучения и приема задаются
формулами
<3-74>
Наша задача состоит в том, чтобы подсчитать, как изменятся эти
направляющие косинусы при переходе от точки Q. к точке Q2.
Этот расчет лучше всего выполнить, опустив, во-первых, индексы Лоренца у
векторов репера Ферми, и, во-вторых, забыв об уравнении (3.70) и оперируя
с произвольным векторным полем к1, заданным на кривой С. Тогда величина
<?(РР') = П.(РР')кНР) (3-75)
есть функция s на кривой С, и можно разложить ее в ряд следующим образом:
Ф (РР') = D.D + s (Q fiV + Q^M") +
+ у s2 (Q-D2** + 2fi.;iDrAj + Q.jkiDAJ + + QijkkiAiAk) + ±s*(QiD°ki +
+ 3Q.jDWA' + 3Q.pDDA1' + -f
4- 2+ 3?2фОк*А'Ак +
+ ?2ijhkiAiDAh + ?2ijhmkiAfA'tAm) + 01. (3.76)
В правой части (3.76) Q = Q(NP'), а производные относятся к
дифференцированию по N; kl - kl(N). Воспользовавшись
соотношениями (3.55)
и (3.57), получим
ср (РР') = - огр4>1г + s к.А1 - u\i.Dkl +
+ i + -2- s2 (2A.Dk1 +
+ k.DA1 - a {fii/W + SijhmXMMVm}) +
+ ~s3(3A.D*ki + 3DAiDki + k.D2Ai) + Oi. (3.77)
Последнюю формулу можно несколько упростить, используя (3.70). Мы имеем
А.к% = const,
A.DV + DA.k1^ 0,
A.D2kl + 2 DA.Dk1 + DMjA,* = 0, (3.78)
2A.Dk1 + DA.k1 = - DA.k1,
3Ар2к1 ,-f 3DA.Dk1 + kiD2Ai = - 2D*A.kl - 3DA.Dk\
Две последние строчки можно подставить в формулу (3.77).
Коэффициенты при различных степенях s и о в (3.77) вычислены
в точке N. Для нахождения величин ^(Q.P') и <f(Q2P') следует,
как
и в (3.66), положить
s = 4'"F + 4-/ + 04, f = ° з.
П8_________Г л. III. Хронометрия в римановом пространстве
- времени
где т] = - 1 в точке (Д и т) = 1 в точке (Д. Следовательно,
Ф (QP') = - ор4А* + ± т!Т (Ар - a^DV + 1 oaSy ftmAM'pft pm) +
+1 fAp-\x2(DAp + a ypW + SykmAMMV}> -
- ~ t]t3 (2D^Ap + 3DApi1) + 04, (3.80)
где Q означает либо точку СД, либо Q2. Подставляя теперь из (3.67)
1т = ст-1гоУрА* + о*Е,
462 + |(^Ш'>2' (З-81)
|f=-g-oXDM1,
получаем
ф (QP') = (1F + т]№*) о + (К + т]У*) а2 + (Z + r]Z*) а3 + <Д, (3.82)
