Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(опуская штрихи),
Vi = A(a-a1)gijVy* + Oi, (2.89)
^ = Ж=^ч/' + 0'- t2-90'
Эти грубые приближения окажутся весьма ценными в последующих, рас-
*) Если геодезические, исходящие из Рг, снова встречаются в Р2, то VJ2 =
0. Интегральное уравнение (2.87) становится однородным и метод
оказывается полностью непригодным. Это - исключенный из рассмотрения
случай сопряженных точек.
§ 3. Вычисление вторых производных
63
суждениях. Более точно1) с помощью (2.88) в точках Рх и Р2 получаем также
б U-
"б1Г = к?чку32 + кг J ("* -и) (и- иг) KkmghkghmVh du+02, (2.91)
utfK^g^y* du + О, (2.92)
U1
В предыдущих вычислениях мировая функция не фигурирует. Как и в (2.17),
положим теперь
Qit= - (и2 - uJU^, Q h = (u2 - u1)Ui2. (2.93)
Перенося Р2 вдоль С2 и дифференцируя по v, получаем (поскольку Рг
остается неподвижной)
a,"ti".= -<r,e^, (2.94)
Для членов, стоящих справа, имеем выражения вида (2.91) и (2.92). Далее,
как только Рг и Р2 заданы, кривую С2 можно провести через точку Р2
произвольным образом. Следовательно, V3* - произвольный вектор, и его
можно отбросить. Таким образом, мы получим формулы для Qijjj и Qj2j2.
Затем можно всюду поменять местами индексы 1 и 2, не забывая при этом
изменять знак k. Кроме того, нам известно и общее правило перестановки (§
1) (если мы хотим его использовать). И, наконец, вводя в рассмотрение 5-
тензор из § 2, мы получим следующие выражения для ковариантных
производных второго порядка от мировой функции:
и2
Gtiii = §nh + | k\ (u2- u)2giiagjlbSabpQUpUq du + 02, (2.95)
Ux *
u2
Qhh = Qhh = - ghh + 4 k \ - ") (" - "i) giiagj2bSat'P,,UPUg du + 02,
(2.95)
Ul
u2
Qi*M = gi2h+Yk S (u-ui)%iagj2bSabPqUpUgdu + 0^
Ul
k'1 = u2-u1, sabpq = - 4 (Rapbq + Raibp).
Эти формулы можно записать короче с помощью инвариантных компонент [см.
(1.54)] в некотором ОР Я.(а), который переносится параллельно
*) В уравнении (2.91) и в последующих формулах символ 02 означает
интеграл, подынтегральная функция которого квадратична по тензору Римана.
Например, в (2.91) 02 означает
и2 и2
k \ !Ии2_и'^^^'ёцкёа'пУъ' dudu'- (2.91а)
"1 ui
Обращаясь к вопросу о степени малости, мы прежде всего считаем тензор
Римана малой величиной, а (и2 - иг) - конечной. В таком случае 02 имеет
второй порядок малости (как это и должно было быть). Однако если область
(и2 - Ui) велика, вопрос о малости нуждается в тщательном обсуждении. По-
видимому, полезно подчеркнуть, что, решая вопрос о малости, здесь мы не
основываемся на предположении о малости области ("а - "!>•
ui
U2
•64
Гл. II. Мировая функция Q
вдоль геодезической РгР2. Если умножить первую из формул (2.95) на
Мт)М")> то полученное произведение выйдет за знак интегрирования, и мы
придем к выражениям
?ц(Л(т) = ^(m)a, gjlb4n) ~ ^(п)Ь .
Л(тп)а^(п)ь5аЬР9[/р[/<[
Проведя аналогичные операции с остальными формулами и учитывая, что Uir)
постоянна вдоль геодезической, получаем следующие выражения для
инвариантных компонент:
"а
П(тп1т1) = 'П(тп) + Y ku(r) U(s) (ы2 - и)2 S(mnr8) du + 02,
Ul
"2
^(min2) = 'П(тп) ~2 ^ ^ (u2 U) (U - Ux) S(mnre) du 02, (2.97)
"1
"2
fymjn,) = T]<m") + kUir) Uw (u - Ul)2 S(mnra) du + Ot,
Ul
гдеx)
T](mn) = diag(l, 1, 1, -1).
§ 4. Вычисление ковариантных производных от оператора параллельного
переноса
В дальнейшем нам потребуется использовать тот факт, что ковариант-ные
производные операто рапараллельного переноса gn'x в пространстве -
времени с малой кривизной малы. Это обстоятельство очевидно даже с
интуитивной точки зрения, ибо, как легко убедиться, в плоском
пространстве - времени упомянутые выше ковариантные производные
обращаются в нуль. Однако оператор параллельного переноса представляет
собой один из существенных элементов пространственновременной геометрии,
и мы посвятим этот параграф вычислению его ковариантных производных.
Обратимся к фиг. 3. Пусть Я* и р* - векторы в точке Pv выбранные
произвольным образом и перемещаемые с помощью параллельного
переноса
вдоль геодезических. Тогда во всем двумерном пространстве геодезических
Т5Г = 0' i?_0, (2.98)
а также, поскольку Рг - фиксированная точка,
ТГ"0' т*-°- <2-">
Мы имеем
K = (2.Ю0)
и, следовательно, после дифференцирования по v
6^ = gi^1V\ (2.101)
г) Поясним обозначения: численный индекс 1 при т означает, что
соответствующая величина взята в точке Рц mi в левой части принимает те
же численные значения, что и т в правой части.
§ 4. Вычисление ковариантных производных
65
где третий индекс у g означает ковариантную производную (в данном случае
по Р2). Но с помощью правила коммутации (1.95), с учетом (2.98) получаем
ilW = R^iUmVn, (2.102)
и, следовательно,
(2.103)
Выполняя интегрирование и используя соотношения (2.99), получаем
дх U2 U2
= S = ^ I giiag]lbRabmnUmVtidu. (2.104)
Ul Ul
Поскольку р,*г можно считать произвольными, то мы их просто вычеркнем.
Можно далее подставить в (2.104) выражение для 6Ai2/6y из формулы
(2.101), а затем рассматривать А/1 как произвольные, так что
их
также можно вычеркнуть. В результате имеем уравнение
