Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
нуле полинома Pn-i полиномы Рп-2 и Рп имеют противоположные знаки.
Поэтому все нули Рп-2 действительные и разделяют нули Рп-4. В пределе,
при у-> +оо, Рп-2 имеет тот же знак, который он имел в наибольшем нуле
полинома Pn_i. Этот знак совпадает, конечно, со знаком -Рп в этом нуле и
он положителен (ср. с рис. 49). Поэтому Ап~2 > 0, таким образом, полиномы
(Pn_i, Рп-г) сцеплены.
Продолжая шаг за шагом такое рассуждение, мы увидим, что все пары
полиномов (Рп~2, Рп~3), (Рп_3, Рп_4) . . . (Pi, Р0) сцеплены1) (задано,
что Ап > 0), и заключаем, что сцепление полиномов (Pn, Pn_i) означает
также, что
А п-1 > 0, Ап-2>0, ... A>0, Л0>0. (103.21)
Для того чтобы доказать обратное утверждение, предположим, что имеют
место условия (103.21) и Ап > 0. Для больших у каждый из членов правых
частей фор-
г) В случае сцепления полиномов (Р4, Р0) это означает просто, что Р{
имеет тот же знак, что и Р0, когда у ->--|-оэ.
104] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС 373
мул (103.20) имеет более высокий порядок, чем соответствующие члены в
левых частях этих равенств. Отсюда все полиномы Р имеют один и тот же
положительный знак при у-^со, именно, знак А0. Таким образом, согласно
последнему уравнению (103.20), Р2 положителен на бесконечности и
отрицателен в у = 0, где Pi = 0. Отсюда (Р2, Pi) сцеплены и, продолжая
эти же рассуждения, мы придем к заключению, что и (Р", P"_i) также
сцеплены.
Таким образом, неравенства (103.21) представляют собой необходимые и
достаточные условия для сцепления полиномов (Рп, P"_i) или, что то же
самое, для того, чтобы действительные части всех корней функции f(s) были
отрицательны.
Величины, входящие в (103.21), можно выразить в следующей детерминантной
форме через коэффициенты функции /(s)1), согласно (103.15):
dl di do 0
1 ^1" ^-n-2 do i 4п_з d3 db d2 dl
a3 d2 ^4 d3
di О о в ... 0
Ao = d3 #2 #i ... 0
a2n - 1 #271- 2 . . . <Zn
(103.21)
имея в виду при этом, что аг = 0 для г > п.
§ 104. Вынужденные колебания. Резонанс. Операционные методы. Если для
системы, движущейся согласно уравнениям (103.1), все корни уравнения
(103.8) имеют отрицательные действительные части, то независимо от того,
какими были начальные условия, система в конечном счете стремится
остановиться в начальном положении. Пусть теперь, кроме сил,
представленных
*¦) Hermite Ch., Crelles J. 52, 39 (1850).-H u rwit z A., Math. Ann. 46,
273 (1895); cp. G г a m m e 1 R. Der Kreisel, t, 1, стр. 259, Berlin,
Springer, 1950,
374
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. VIII
в уравнении (103.1), к системе приложена возмущающая сила Qp(t),
рассматриваемая как заданная функция t\ уравнения движения примут вид:
aPoQ°+cpaqa+ bpaq°=Qp. (104.1)
Если приложенная сила является гармонической силой с круговой частотой ш,
то имеем
<?р = ?РеШ • (Ю4.2)
После того как пройдет достаточно большое время, система будет стремиться
(независимо от характера начальных условий) к вынужденным колебаниям,
определяемым уравнениями
qp = ареш . (104.3)
Комплексные амплитуды ар находятся подстановкой в (104.1). Они должны
удовлетворять уравнениям
(- араto2 + icpa(D-f- bpa) аа = Fp. (104.4)
Эта задача не совпадает с проблемой собственных значений; в
данном случае вопрос идет просто о решении
системы линейных уравнений. Однако проблема собственных значений,
представленная уравнением (103.8), тесно связана с решением системы
уравнений (104.4), потому что амплитуды возрастают, когда возмущающая
частота близка к собственной частоте или, выражаясь более точно, когда т
близко к одному из корней уравнения (103.8). Тогда имеет место резонанс.
Такие задачи наиболее компактно решаются с помощью операционных методов.
Мы покажем, как получить решение уравнений (104.1) для возмущающей силы
общего вида, не обязательно имеющей форму (104.2). Выбираем начальные
условия:
qp = пр, qp =vp при t = 0. (104.5)
Пусть I обозначает операцию *) интегрирования по
t
Ij (t)= ^ / (т) dx. (104.6)
о
0 Подробно об операционном методе см. Jeffreys Н. Snd Jeffreys В. S.,
Mathematical Physics, гл. 7 (Cambridge,
§ 104] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС
375
Применим оператор / к выражению (104.1) и примем во внимание условие
(104.5); получаем таким образом
Яра (<Г - v°) + сра (q° - Я°) + bpaIqa = IQp. (104.7)
Уравнение (104.8) эквивалентно (104.1) и (104.5); если оно
удовлетворяется, то удовлетворяются и последние; в этом можно убедиться,
продифференцировав (104.8).
Сущность операционного метода состоит в том, что с оператором /
обращаются так, как если бы это было число. Правильность результатов,
полученных таким образом, проверяется после. Мы рассматриваем Ара как
числовую матрицу и определяем Dpa как алгебраическое дополнение элемента
Ара так, что
Умножив (104.8) на Dpp и разделив затем на D, получаем уравнение
1956). Они употребляют обозначение Q для оператора интегрирования. Здесь
этот символ заменен на / с тем, чтобы избежать путаницы с обобщенными
силами. Много трудностей возникает в операционном методе при введении
