Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Имея сформулированную таким образом проблему колебаний около состояния
установившегося движения системы, обладающей игнорируемыми координатами,
мы представим теперь ту же проблему другим способом, безотносительно к
такому движению или к игнорируемым координатам.
Дана гамильтонова функция Н (q, р); канонические уравнения
дН . дН ....
?Р = -. Рр = ~~ (Ю5./)
dp р dqp
определяют направление движения в каждой точке фазового пространства (QP)
за исключением тех сингулярных точек, где удовлетворяются 2N уравнений
НЕ = 0, - = 0. (105.8)
dqP дрр
Так как имеется 2N величин (q, р), то можно ожидать, вообще говоря, что
мы найдем конечное число сингулярных точек в пространстве (QP). Каждая
такая точка представляет долную историю системы, потому что уравнения
380
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[Гл. VIII
движения (105.7) удовлетворяются при постоянных значениях (q, р), при
условии, что эти значения удовлетворяют уравнениям (105.8).
Будем теперь исследовать траектории в пространстве (QP) вблизи
сингулярной точки. Сравнивая (105.6) и (105.8), видим, что такое
исследование есть в то же время исследование колебаний около состояния
устойчивого движения для системы с игнорируемыми координатами. Такой
подход имеет то преимущество, что мы входим сразу в существо дела.
Следующее обсуждение тесно связано с вопросами, рассмотренными в § 103.
Однако здесь мы будем употреблять скорее гамильтоновы методы, чем
лагранжевы. В методе Лагранжа мы ограничены преобразованиями координат
(q), а преобразование импульсов (р) является производным преобразованием.
В методе Гамильтона мы можем применять канонические преобразования (КП).
Сингулярные точки в пространстве (QP) инвариантны относительно КП.
Уравнения (105.8) эквивалентны уравнению бН = 0 для любой вариации
положения в пространстве (QP), а это последнее уравнение - инвариант, так
как Н есть инвариант КП.
Пусть <7Р = ар, рр = бр - сингулярная точка. Производящая функция
G (Я, Р') = \яР - вР) (Рр + бр) (105.9)
дает КП
dG '.I ' dG /лпг im
Рр = ^- = РР + Ьр. ЯР = тт = ЯР - "р. (Ю5.10)
дЯр дрр
так что сингулярной точкой становится точка д'р = 0,
Рр = 0. Будем употреблять теперь эти новые канони-
ческие переменные, отбросив штрихи.
Предполагаем, что функция Н (q, р) разложима в степенной ряд в
окрестности сингулярной точки. Постоянный член в разложении не имеет
значения в (105.7) и мы его опустим. Тогда, принимая во внимание (105.8),
имеем
1 1
Н (Я> Р) = ~2 АроЯрЯо НроЯрРо ~2 GpoPpPoi (105.11)
§ 105] КОЛЕБАНИЯ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ (QP) 331
где включены члены до второго порядка и коэффициенты - постоянные.
Ради компактности введем обозначения § 87 с некоторыми изменениями
размерностей, а именно, будем рассматривать 27V-MepHoe пространство QP
вместо QTPH (2N + 2 измерений). Имеем
(105.12)
тогда уравнение (105.11) можно написать в виде
2 H = zHz, (105.13)
где Н - симметричная 2N X 2N матрица (Н = Н). Введем матрицу (87.11)
/ 0 1\ г=(_1 о)' (105Л4)
где 1 есть теперь единичная N X N матрица; отметим свойства матрицы Г:
Г=-Г, Г~1=-Г, r*=~U2N), det Г-i. (105.15)
Тогда, как и в случае (87.13), уравнения движения имеют вид
z = ГНг. (105.16)
Для того чтобы определить природу движения, попытаемся разделить
переменные в этих уравнениях; сделаем это, применив КП, которое переводит
матрицу Н в простую (нормальную) форму х).
Рассмотрим линейные уравнения
ГНг = Хг или Hz = - ХГг (105.17)
и присоединенное детерминантное уравнение
det (Н+ХГ) = 0, (105.18)
которое имеет 2N корней, действительных или комплексных, и не обязательно
различных. Для произвольного
382
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. VIII
корня X имеем уравнение
det [Г (Н+ХГ)Г] = 0, (105.19)
(так как det Г - 1). Транспонируя эту матрицу и принимая во внимание
соотношения (105.15), получаем
det (Н - ХГ) = 0. (105.20)
Сравнение с уравнением (105.18) показывает, что если X - корень, то
корнем является также и -X. Можем написать полную систему корней так: ±
A,i, ..., + XN и представить их в форме диагональной матрицы
Чо "-0' (,05'2,)
где Lq - диагональная N X N матрица с элементами
(^i, . . ., Хн).
Будем предполагать, что Xi, . . ., XN - различны1). Тогда система решений
уравнения (105.17) может быть охарактеризована 2N X 2N матрицей Z
такой,, что
Z~xrHZ = L. (105.22)
Однако это уравнение не определяет Z единственным образом (и этот факт
имеет большое значение). Если# - какая-нибудь матрица-решение, то
решением является также и матрица ZP, где Р - произвольная диагональная
матрица. Если У и Z - две матрицы-решения, то имеет место соотношение
Z = YP, (105.23)
где Р - некоторая диагональная матрица.
Пусть Z - матрица-решение. Определим Y следующим образом:
У = - (rzry1 = - TZxr. (105.24)
0 Настоящее доказательство приложимо только к этому невырожденному
случаю. Случай вырожденных корней заключен в рассмотрении устойчивости
движения согласно исследованию Вейерштрасса методом контурного
интегрирования Вейерштрасса, как это изложено у Уиттекера [28], стр. 220-
