Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
387
циальная энергия Солнца и планеты, V (РР') - взаимная потенциальная
энергия двух планет. Для того чтобы написать гамильтониан возмущенного
движения, обозначим через S0 фиктивное солнце, закрепленное в начале
координат, и определим V' (SP) следующим образом:
V' (SP) = V (SP) - V (SoP). (106.5)
Тогда гамильтониан (106.4) может быть написан в виде
Я = Я (S) + ZH (Р) + К, (106.6)
где
H(S) = T (,S), Н(Р) = Т (Р) + V (SoP), (106.7)
а через К обозначены члены, не вошедшие в первые два гамильтониана; К
есть гамильтониан возмущения.
Невозмущенное движение известно, ибо Я (S) соответствует свободному
движению частицы, а Я (Р) - проблеме Кеплера. Практическое значение
уравнения (106.6) основано на том факте, что К мало. Действительное
движение солнечной системы есть возмущение такого состояния движения, в
котором солнце покоится, а планеты описывают эллиптические орбиты (с
Солнцем в фокусе).
Фундаментальная идея, лежащая в основе теории возмущений, состоит в
следующем: начиная с момента
t = ti и до t = t2 движение полной системы (включающей возмущение) мало
отличается от невозмущенного движения, при условии, что мы начинаем
рассматривать два движения в одной и той же точке пространства QTP и
берем интервал t2 - 11 достаточно малым. Предположим, что невозмущенное
движение известно; влияние возмущения в течение такого конечного
интервала можно найти приближенными методами1).
Не применяя никаких приближений, основанных на малости возмущающего
гамильтониана, общую задачу возмущенного движения можно поставить в
следующем виде: пусть дано решение канонических уравнений
-1) Подобное исследование возмущений с использованием переменных действие
- угол см. Франк [5], стр. 87-100.
25*
388
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. VIII
невозмущенного движения • _ дН0
Qp -
Рр = -
дН0
(106.8)
дрр ' " dqp ¦
Требуется установить метод определения движения, для которого
гамильтониан имеет вид
Н - Н0 (q, t, р) + Hi (q, t, p), (106.9)
где Hi - возмущающий гамильтониан.
Пусть решение системы (106.8) есть
Qp = Qp (с, t), рр = рр (с, t), (106.10)
где с означает 2N произвольных постоянных сл, индексы А пробегают
значения 1, . . ., 2N; эти величины остаются постоянными вдоль каждой
невозмутимой траектории. Разрешая
(106.10) относительно Са, имеем
С А = С А (q, t, р).
(106.11)
Эти 2N функций определяются формой функции Но (q, t, р).
Рассмотрим теперь задачу в пространстве QTP (рис. 50)*). 22лг -
поверхность t = 0, В - какая-нибудь точка, и Го - невозмущенная
траектория, проходящая через точку В и пересекающая поверхность 222V,
например в точке В*. Так как сА постоянны вдоль траектории Г0, то в точке
В* имеем
Рис. 50. Возмущение, наблюдаемое в QTP. Г0 - невозмущенные траектории, Г-
возмущенная траектория.
Qp=Qp(c,0), Рр = Рр(с,0);
(106.12)
0 Вспомним, что любая система канонических уравнений определяет
конгруэнцию кривых в пространстве QTP\ через каждую точку проходит одна
кривая; ср. с § 93.
§ 106]
ВОЗМУЩЕНИЯ
389
Таким образом, сд образуют систему координат на (с, t) образуют систему
координат в QTP, вообще говоря, не канонических. Невозмущенные траектории
Г0 образуют систему проектирующих линий, посредством которых точка В
проектируется на точку В*; соответствующие значения Сд определяются
выражениями (106.11).
Рассмотрим теперь возмущенную траекторию Г. В точке В ее направление
отличается от направления Г0, и в то время, как изображающая точка В
пробегает Г, проекция этой точки В* движется по поверхности S2^-Поэтому
метод, изложенный здесь, называется методом вариации произвольных
постоянных, так как сд постоянны для Г0, но не для Г. Проблема возмущений
сводится к изучению закона, по которому сд изменяются с t, когда
изображающая точка пробегает Г. Если бы мы знали этот закон, то могли бы
найти Г; ее уравнения в форме
Сд = и (0 (106.13)
определяют кривую в пространстве QTP в системе координат (с, г).
На кривой Г согласно (97.9) имеет место уравнение
Я/"
СА = ~ + [сА, Но + НЛ, (106.14)
at
где сА - функции (106.11); на Г0 (вследствие того, что сА = const) эти
уравнения превращаются в следующие:
Ял
0 = + [сд, Но]. (106.15)
at
Вычитая, получаем уравнение на Г:
сд = [cA, Hi]. (106.16)
Вследствие (106.10) или эквивалентных уравнений (106.11) правая часть
есть функция переменных (с, t) и, следовательно, мы имеем здесь систему
2N уравнений для определения функции (106.13), а отсюда и возмущенного
движения.
390 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. VIII
Уравнения (106.16) можно представить в другой форме. Согласно (106.10)
можно выразить Hi как функцию (с, t):
Н\ (q, t, р) = К (с, t). (106.17)
Тогда
дН1 = дК_ дсв_ ^ дЩ_ = дК_ дсв_ ^ (106 18^
dqp дсв dqp ' дрр дсв дрр
и
[сл, Hi}=^^-d^L^=[cA, св\^~ .(106.19) dqp дрр dqp дрр дсв
Таким образом, уравнения (106.16) можно написать в виде
С А - [с А, св]- (106.20)
осв
До сих пор все рассуждения были точными. Заметим теперь, что если
производные Hi малы, или, что то же
самое, малы производные К, то правые части (106.16)
