Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
договорились, остаются неизменными. Из уравнений (100.12) следует, что по
выполнении этой операции точка Z?i обойдет один раз контур Tj (/), а
точки В2, . . BN будут оставаться на своих исходных положениях, не обходя
соответствующих контуров. Это же рассуждение можно провести для
возрастания на единицу каждой угловой переменной в отдель-
§ 100]
СВОЙСТВО ПЕРИОДИЧНОСТИ
355
ности; заключаем, таким образом, что функции
(100.14) - периодические функции относительно каждой переменной wp с
периодом 1х).
Можно поэтому разложить эти функции в ряды Фурье вида
qp = (100.15)
(n)
суммирование ведется по всем целочисленным значениям (положительным,
отрицательным и равным нулю), а функции Ар - комплексные функции
переменных действия /, так что перемена знаков всех пр превращает А в ее
комплексно сопряженную величину. Тогда согласно (99.16) движение системы
определяется уравнениями
Яр = 25р; П1 e^'<"ivi + -.+"iVvi>)tj (Ю0.16)
(п) '
В - функции переменных J. В этом смысле величины vp являются "частотами".
Если мы знаем функцию Н* (/), то частоты можно сразу вычислить из
(99.17), дифференцируя эту функцию.
Предполагалось, что кривые в плоскостях Пр, определяемые уравнениями
(100.3) (при фиксированных значениях /), замкнутые; эти замкнутые кривые
являются в действительности контурами Гр (/). Это предположение отнюдь не
означает, что движение системы периодическое: мы видим из (100.16), что
оно периодическое тогда и только тогда, когда отношения частот vp -
рациональные числа.
Система называется вырожденной, если частоты удовлетворяют соотношению
вида
siVi + s2v2 sjvvjv = 0, (100.17)
где si, . . ., sN - целые числа или нули, среди которых по крайней мере
два отличны от нуля. Вырождение
0 Циклическая координата не будет периодической. Она возрастает на свою
циклическую постоянную и уравнения (100.15) и (100.16) изменяются - к ним
добавляются другие члены; ср. Fues [6], стр 140; Голдстейн [7], стр. 115.
23*
356
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО (QP)
[ГЛ. VII
появляется, когда гамильтониан Н* (/) некоторым определенным образом
содержит переменные действия. Поясним это следующим примером.
Предположим, что гамильтониан имеет вид
К = mJi + mJz + m3J3, j где mt - целые числа. Тогда имеют место уравнения
дН' df df df /inn I ох
v'" ал=""^' = (100Д9)
и мы получаем двойное вырождение:
m2vi - mi\2 ~ 0, m3vi - тiv3 = 0. (100.20)
Как отмечалось в § 63, изложение общей динамической теории (с точки
зрения современной чистой математики) дано в этой книге на довольно
низком уровне математической строгости. Пока дело касалось теории в малых
областях, было нетрудно внести в нее добавления, которые делали ее
строгой теорией, но переменные действие - угол выводят нас из бесконечно
малых областей в конечные введением указанных выше контуров Гр (/).
Отсюда возникают очень сложные топологические вопросы, которых мы в этой
книге не рассматриваем.
ГЛАВА VIII
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 101. Приведение энергий к нормальной форме. Нормальные моды и частоты.
Вырождение. Рассмотрим динамическую систему с N обобщенными
координатамих) qp и лагранжевой функцией
L = Т - V, Т = -±apa(q)qpq°, V = V (q); (101.1)
система движется согласно лагранжевым уравнениям движения
= -**-. (Ю1.2)
dt dqр dqp dqp
Это - обыкновенная динамическая система § 66 (ОДС).
Рассмотрим задачу в пространстве конфигураций Q. Изображающая точка
описывает траекторию в соответствии с уравнениями (101.2), траектория
определяется начальной точкой qp и начальной скоростью qp. Если в
некоторой точке пространства Q имеем соотношение
dV
= 0, (101.3)
dqp
тогда, если скорость обращается в нуль, никакого движения нет. Эти N
уравнений определяют конфигурации
х) Для того чтобы согласовать обозначения с тензорным исчислением, будем
писать индексы вверху. См. § 62 об условии суммирования.
358
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. VII
равновесия и можно ожидать, вообще говоря, что будет найдено дискретное
множество таких точек в пространстве Q, так как число уравнений равно
числу координат. Рассмотрим теперь малые колебания около положения
равновесия.
Изменив систему координат, можно сделать положение равновесия началом
координат 0 (тогда qp - 0) и положить также, что V = 0 в точке О (так как
потенциальная энергия всегда определена с точностью до аддитивной
постоянной). Раскладывая F и йр" (д) в степенные ряды в окрестности точки
О, получаем главные части функций Т и V:
T=\apa?q°, V=±bpagpg°. (101.4)
Здесь коэффициенты - постоянные и ара = аар, Ьра = = Ьар. Уравнения
движения (101.2) теперь примут вид
аРода + bpaqa = 0. (101.5)
Ради математической ясности стоит забыть, что мы имеем дело с
приближениями и рассматривать уравнения (101.4) и (101.5) как точные у
равнения, определяющие нашу задачу с конечными qp; однородность системы
позволяет это.
Непосредственный практический метод решения системы (101.5) состоит в
том, чтобы подставить значения
др=ареш, (101.6)
где ар - постоянные комплексные амплитуды и со - круговая частота.
