Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(101.18). Тогда, если обозначить со2 через X,
(101.7).
Ардр = 0,
(102.1)
oQo ^ра(7 ^1 рj
(102.2)
(102.3)
^рст(r) ^рст -4р
(102.4)
Аа 0
102]
ДЕЙСТВИЕ СВЯЗЕЙ
365
уравнение (102.4) примет вид
Д (X) = 0,
(102.5)
где
X - ^<1 0 ... А1
О X - Х% • • • А 2
Ai
Ач
А(Х) = - ....................................
О 0 ... X - Xff А н
А1 А 2 А N О
(102.6)
Числа Ар - коэффициенты в уравнении связи (102.1), выраженном через
нормальные, координаты. Разлагая в ряд, имеем
Д(Х) = А\(Х - Х2) (Х-Х3) ... (X- XN) + ]
+ А 2 (X - Xi) (X - Х3) ... (X - XN) + I
+ а! (X - Xi) (Х-Х2) ... {X- XN) + > (102.7)
А% (X - Xi, (X - Х2) ••• (X - XN-1) . j
Здесь Xi, Х2, • ¦ ., XN - квадраты круговых частот свободной системы.
Предположим, что свободная система невырождена; тогда простой
перестановкой координат можно упорядочить X так, что
Предположим, кроме того, что ни одна из величин Ар в уравнении (102.7) не
обращается в нуль. Тогда
А(^дг) >0, Д (Xpf-i) <0, Д (Xpf-2) >0, ... (102.9)
и поэтому А(Х) имеет N - 1 действительных корней, разделяющих числа Xi, .
. ., XN. При этих обстоятельствах (т. е., можно сказать, в общем случае)
частоты системы, подчиненной связям, разделяют частоты свободной системы.
Для того чтобы сделать поправку на возможность обращения в нуль одного
или более Ар, нужно ослабить
Xi <i Х2 <i ... < XN.
(102.8)
366
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. VIII
это утверждение, а именно, положить
Vi < Vi' < v2 < \'2 ... < Vjv_i < vдт_i < Vjv, (102.10)
где v означают частоты свободной системы, a v' - связанной. Вырождение
может быть следствием введения связи; на геометрическом языке - эллипсоид
допускает круговые сечения.
Эффект наложения связи на вырожденную систему лучше всего иллюстрировать
примером. Возьмем N = 5 и предположим
^1 <! к2 = к2 = ^4 к$, (102.11)
так что в свободной системе имеет место тройное вырождение. Тогда
уравнение (102.7) примет вид
А (к) = Al (к - к2)3 (к - к5) +
+ (И| + И23 + И2) (^ - ^i) (^ - ^-г)2(к - к5) +
-Мвф -Я*) (к-к2)3. (102.12)
Предположим, что ни одна из величин Ар не обращается в нуль, тогда кривая
Д(Я.) ведет себя так, как показано на рис. 48. Имеем, таким образом,
А (А.0 > 0, Д(Я,2) = 0, А (к5) > 0, (102.13)
а вблизи к = к2
А (к) ~ (И2 -(- Аз Al) (к2 - Я,*) (к - к2)2 (к2 - к5) < 0.
(102.14)
§ 103]
ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
367
Система, подчиненная связям, имеет нормальные частоты т' < т2 = v's <
v't, как показано на рис. 48 (переход от А/ к v' определяется
соотношением 4я2т'2 = А'). Тройное вырождение сводится к двойному.
Устойчивая система остается устойчивой при наложении связи, а
пеустойчивая может быть сделана устойчивой с помощью связи.
Если система подчинена одной связи (как это было в рассмотренном случае),
то можно исключить одну из координат и ввести N ¦- 1 новых нормальных
координат. Такой ход рассуждений позволяет изучить действие
дополнительных связей. В общем случае, когда нет никакого вырождения и
связи не выбраны каким-либо специальным образом, мы имеем
последовательные разделения в следующем виде:
Никаких связей: Vj v2 v3 ... vу
Одна связь: v\ v3 ...
Две связи: v3 ... vjv-2
N - 2 связи: v^-2^ •••
N-1 связи: v(w-l)
l
Все эти вопросы с геометрической точки зрения являются вопросами о длинах
главных реей плоских сечений эллипсоида в многомерном евклидовом
пространстве; если встать на эту точку зрения, то на некоторые из этих
вопросов можно сравнительно легко ответить.
§ 103. Диссипативные системы. Гироскопическая устойчивость. Рассмотрим
следующую систему N линейных дифференциальных уравнений с действительными
постоянными коэффициентами
ара'Я° + сраЯ° + bpaqa = 0. (103.1)
Такие уравнения встречаются при изучении диссипативных и гироскопических
систем, а также в теории электрических контуров. Мы рассматриваем их как
точные уравнения хотя на практике они могут быть только
368 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. VIII
линейными приближениями более сложных точных уравнений. Нас интересует
устойчивость решений системы
(103.1), Случаи, КОГДа Срр 0, dpa dap (r) а == ^api уже изучен в § 101.
Рассмотрим систему, кинетическая и потенциальная энергии которой
определяются выражениями
Т=\ ар acfq°, V = 1 ЪраЧРЧ°. (103.2)
Если, кроме обобщенной силы -dV/dqp, приложена сила трения (затухание),
Qp = -Cpa'qa, (ЮЗ.З)
то уравнения движения принимают форму (103.1); отсюда имеем
~ (Т + V) = Qpqp = - cpaqpqa. (103.4) at
Если мы принимаем естественное предположение, что работа демпфирующей
силы затухания отрицательна, то
квадратичная форма Cpaqpqa - положительно определенная и величина Т + V
постоянно убывает. Если система устойчива при отсутствии затухания, т. е.
если V положительно определенная функция, то при затухании устойчивость
не нарушается. Но если система без затухания неустойчива, то без
привлечения изложенных ниже общих соображений нельзя сказать определенно,
вызовет ли затухание устойчивость.
Уравнения в форме (103.1) получаются также для системы, имеющей
лагранжиан вида
L = ^ "ро4Р4°+ dpaqpqa - I bpa<f q°. (103.5)
