Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
-5T = ^r + v^rad F¦
Приняв такое соглашение, мы можем записать уравнение неразрывности в любой из двух инвариантных форм:
р div v = 0 или -j" div (pv) = 0, (12.2)
где дивергенция, как и обычно в тензорном анализе, означает divb=^.<=
Тензор деформации мы определим через его компоненты в некоторой прямоугольной системе координат. Тогда соотношение между вектором напряжений t и нормалью к по-
12. Уравнения движения в криволинейных координатах 35
верхности n, t = п • Т будет справедливым даже в том случае, когда компоненты Т не совпадают с величинами сил, действующих на элементы поверхности. Отметим, наконец, инвариантность уравнения движения, записанного в следующем виде:
Р -Й1 = Rf-hdivT. (12.3)
bt
где
(div D, = T*t, * = У! ?* (VgT*t) - Tki ГЛ- (12.4)
Рассмотрим подробнее случай ортогональной системы координат. В таких системах квадрат элемента дуги выражается формулой
ds2 = {hx dxО2 + (h2 dx2)2 + (Л3 tfx3)2. (12.5)
Уравнение неразрывности в рассматриваемом случае упрощается и принимает вид
др
dt
С целью преобразования уравнения (12.3) заметим сначала, что
а = If — + v X w + grad y q2 (12.7)
[см. формулу (17.1)]; следовательно, ускорение легко выражается через v и to. Учитывая равенство Vfk = Yklвектор (о можно представить в виде
і eijk eijk dvk /10 04
(ol = —=zVu , — —r. (12.8)
Vg k,] Vgdxf K
Преобразовать член divT более затруднительно в силу сложности формул (12.4). Символы Кристоффеля, соответствующие метрике (12.5), выражаются следующим образом:
і тл і 1 dhi
36
Гл. 2. Уравнения движения
все остальные величины ГД- = 0. (Суммирование по индексам
і и к в этой формуле не производится.) Непосредственные
вычисления показывают, что
(divT = (12.9)
(суммирование по к). В случае идеальной жидкости необходимость в этой формуле отпадает. Заметим также, что в случае вязкой жидкости, удовлетворяющей закону Коши — Пуассона (п. 61), как правило, проще вывести уравнения движения, не обращаясь к формуле (12.9).
Можно указать другую формулу для определения ускорения, а именно
Л _ dvi I „*(dvi ,, dloShn\ „О tm
ai--W + v \dx*~ (12Л0)
Вывод этой формулы аналогичен выводу формулы (12.9).
На практике часто бывает удобно рассматривать вместо ковариантных или контравариантных компонент вектора b его физические компоненты Физические компоненты вектора b определяются равенствами
Р. = *!»'=
(по I не суммировать) и представляют собой величины проекций b на соотЕетствующие координатные линии, проходящие через точку приложения вектора. Аналогичным образом определяют физические компоненты тензора, однако на этом мы останавливаться не будем.
Пример. Цилиндрическая система координат. В этом случае мы имеем
ds2 = dr2 -f- (г я?6)2 -j- dz2.
Если обозначить через vr, и vz соответствующие физические компоненты скорости, то уравнение неразрывности примет вид
ІЗ. Риманово пространство
37
Физические компоненты ускорения в уравнении движения в силу соотношения (12.7) или (12.10) выражаются формулами
v\ VrVn
ar = Dvг------а-) = Dv, -f- ——. az = Dvz,
rs d І d . d . d
D = W + +
Физические компоненты div T приведены в работе Лява!), однако нам они не понадобятся. Наконец, компоненты вектора завихренности определяются из соотношений
__ 1 dvz dvo _ dvr dvz
0)/' r dO dz ’ dz dr ’
13. Риманово пространство. С точки зрения выяснения
логической структуры основ механики жидкости представляет интерес вывод уравнений гидродинамики в римановом пространстве с заданной в некоторой системе координат
х = (х1, ..., хп) метрикой
ds1 — gijdx1 dxj.
Вообще говоря, в этом пространстве нельзя ввести декартову систему координат и, следовательно, нельзя применить непосредственно проведенные выше рассуждения для вывода „уравнений движения*4.
Движение в римановом пространстве описывается преобразованием типа (3.1), но теперь і принимает значения от
1 до п. Мы принимаем в качестве определения компонент
вектора скорости соотношения vl = dxljdt и по аналогии с определением материальной производной для евклидова пространства полагаем
IF dF , lp /10 14
тг + (13Л>
(Это определение обладает тем свойством, которое имело бы место для пространства, помещенного в евклидово пространство высшей размерности. Если, например, мы рассмотрим
1) Ляв А., Математическая теория упругости, ОНТИ, 1935 (см. также указанную выше книгу Н. Е. Кочина. —Перев.)
38
Гл. 2. Уравнения движения
поверхность в трехмерном пространстве, то материальная производная, понимаемая в смысле (13.1), является проекцией на поверхность „естественной" материальной производной евклидова пространства.)
Уравнение неразрывности легко получить, пользуясь методами п. 4 и 5. Формула (4.2) заменяется при этом формулой
J р(х, t)dV = J р(X, t) YgJdv0,
'X ^0
а вместо уравнения (3.8) используется уравнение
jf(V"gJ)= V^divv.
Во всем остальном рассуждения полностью совпадают и приводят в конце концов к уравнению
pdivv = 0,
идентичному уравнению (12.2), но полученному без привлечения декартовой системы координат.
Вывод уравнения движения включает в себя динамические рассуждения, которые, по-видимому, нельзя приспособить к риманову пространству; в частности, неясно, как надо формулировать принцип сохранения количества движения. Тем не менее нам кажется естественным принять уравнение (12.3) в качестве постулата. В этом случае дальнейшее исследование проводится точно так же, как и в обычной гидродинамике.
