Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что относительно инерциальной, например, гелиоцентрической системы отсчета свЬбодно падающее тело будет двигаться с ускорением не g, a w, направленным так же, как fg„ и равным по величине fg/m. Легко видеть (см. рис. 131), что из равенства для разных тел ускорения g вытекает и равенство ускорений w. Действительно, треугольники, построенные на векторах їе и P для разных тел, подобны (углы а и ф для всех тел, находящихся в данной точке земной поверхности, будут одинаковыми). Следовательно,- отношение fg/P, которое совпадает с отношением w/g, для всех тел одно и то же, откуда вытекает, что при одинаковых g получаются одинаковыми и w.
§ 48. Масса инертная и масса гравитационная
Масса фигурирует в двух различных законах: во втором законе Ньютона и в законе всемирного тяготения. В первом случае она характеризует инертные свойства тела, во втором — гравитационные свойства, т. е. способ-
186
ность тел притягивать друг друга. В связи с этим возникает вопрос, не следует ли различать инертную массу тin и массу гравитационную (или тяготеющую) tng.
Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Рассмотрим в гелиоцентрической системе отсчета свободное падение тел. Всякое тело вблизи поверхности Земли испытывает силу притяжения к Земле, которая согласно
(46.5) равна
(nig — гравитационная масса данного тела, — гравитационная масса Земли, Rs — радиус земного
шара).
Под действием этой силы тело приобретает ускорение w (но не g; см. предыдущий параграф), которое
должно быть равно силе /, деленной на инертную массу тела Hiin:
f Af4 та
W=------------= Y —5-—. (48.1)
тш Я3 т1п
Опыт показывает, что ускорение w для всех тел одинаково (из одинаковости g вытекает, как мы видели
M3
ранее, одинаковость w). Множитель у —g- также оди«
паков для всех тел. Следовательно, и отношение mg/min оказывается для всех тел одним и тем же. К такому же результату приводят и все другие опыты, в которых могло бы проявиться различие между инертной и грави-тационной массами.
Вся совокупность опытных фактов указывает на то, что инертная и гравитационная массы всех тел строго пропорциональны друг другу. Это означает, что при надлежащем выборе единиц измерения гравитационная и инертная массы становятся тождественными, поэтому в физике говорят просто о массе. Тождественность гравитационной и инертной масс положена Эйнштейном в основу общей теории относительности.
Отметим, что с самого начала массу в (46.1) мы полагали совпадающей с инертной массой тел, вследствие чего численное значение у нами было определено
187
в предположении; что те — тіп. Поэтому (48.1) можно записать в виде
M4
W = Y-2~. (48.2)
“з
Последнее соотношение позволяет определить массу Земли Мз. Подстановка в него измеренных значений w, Яз а у дает для массы Земли значение 5,98-IO24 кг.
Далее, зная радиус земной орбиты /?0р и время полного обращения Земли вокруг Солнца Т, можно найти массу Солнца Mc. Ускорение Земли, равное cq2/?,)p (ю = 2к1Т), обусловливается силой притяжения Земли к Солнцу. Следовательно,
M4Mc
M3^Rop = Y —_2 ,
^op
откуда может быть вычислена масса Солнца.
Подобным же образом были определены массы других небесных тел.
§ 49. Законы Кеплера
Основанием для установления закона всемирного тяготения Ньютону послужили три открытых Кеплером закона движения планет:
1. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
2. Радиус-вектор планеты описывает за равные времена одинаковые площади.
3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.
Первый закон Кеплера указывает на то, что планеты движутся в поле центральных сил. Действительно, как мы видели в § 37, траектория тела в поле центральных сил представляет собой плоскую кривую —гиперболу, параболу или эллипс, — фокус которой совпадает с центром сил.
Принимая для простоты, что орбиты являются не эллипсами, а окружностями (это допустимо, так как практически орбиты всех планет мало отличаются от
188
окружностей), ускорение, с которым движется планета, можно напнсать в виде
W = ¦
где V — скорость движения планеты, г—радиус орбиты.
Заменим V через 2nrJT (T — период обращения планеты вокруг Солнца):
4л V
W = -j.J-.
На основании последнего выражения отношение сил, действующих на планеты со стороны Солнца, запишется следующим образом:
Il
?2
'.,ш,
WI2T2J^
Заменяя в соответствии с третьим законом Кеплера отношение квадратов периодов обращения отношением кубов радиусов орбит, получим:
f .г ___ t1lI , ІЇІ2
11 • /2 “ 2~ rJ
г2 ‘
rZ
Таким образом, из третьего закона Кеплера следует, что сила, с которой планета притягивается к Солнцу, пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату ее расстояния до Солнца:
f = k
т
Предположив, что коэффициент пропорциональности k в свою очередь пропорционален массе Солнца Mc, Ньютон пришел к уже знакомой нам формуле
f = Y
тМс
выражающей закон всемирного тяготения.
