Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
В сказанном можно убедиться, попытавшись подбросить какое-либо тело, имеющее форму параллелепипеда (например, коробок спичек), приведя его одновременно во вращение1). При этом обнаружится, что тело, падая, может вращаться устойчиво вокруг осей, проходящих через наибольшие или наименьшие грани. Попытки же подбросить тело так, чтобы оно вращалось вокруг оси, проходящей через средние грани, будут безуспешными.
') Воздействие силы тяжести в этом случае не является существенным. Оно лишь обусловливает происходящее наряду с вращением падение тела.
165
При наличии внешнего воздействия, например, со стороны нити, за которую подвешено вращающееся те* ло, устойчивым оказывается только вращение вокруг главной оси, соответствующей наибольшему значению момента инерции. По этой причине тонкий стержень, под-сешенный на нити, прикрепленной к его концу, при быстром вращении будет в конечном итоге вращаться вокруг перпендикулярной к нему оси, проходящей через центр (рис. 117,а). Аналогичным образом ведет себя диск, подвешенный на прикрепленной к его краю нитй (рис. 117,6).
§ 43. Момент импульса твердого тела
Найденное нами в § 38 выражение для момента импульса твердого тела
Lz = IzIо (43.1)
справедливо только в том случае, когда тело вращается вокруг неподвижной оси, т. е. вокруг оси, удерживаемой в пространстве подшипниками, или вокруг свободной оси. В иных случаях связь между L и о) значительно усложняется, в частности, вектор момента импульса L не совпадает по направлению с вектором угловой скорости О).
Направим оси координат1) по главным осям инерции тела. Пусть вектор о) не совпадает ни с одной из этих осей
(рис. 118). Тогда все его составляющие по осям — СО*, <оу> <oz — будут, вообще говоря, отличны от нуля. Произведение IzHiz дает согласно (43.1) составляющую вектора L по оси z. Аналогично Ixох дает составляющую Lx, a IyOiy — составляющую Ly. Если моменты инерции относительно главных осей Ix, Iv, Iz не равны между собой, то результирующий вектор L = Lk + Lv + Lz, как
видно из рис. 118, не совпадает по направлению с век-
•) Имеются в виду оси, жестко связанные с телом н вращающиеся вместе с ним.
166
тором (о. Только при условии, что со направлена по одной из главных осей, скажем по оси z, составляющие to по остальным осям (т. е. co.v и соу) будут равны нулю, в результате и составляющие L* и Ly будут нулями, и мы придем к формуле (43.1).
Таким образом, если в качестве координатных осей выбрать главные оси инерции тела, то связь между векторами о и L имеет вид:
L = / хъ>х + / у<Лу + I гсог. (43.2)
Вспомнив, что со* = Wvi и т. д., последнему выражению можно придать вид:
L = (/^coa.) і + (/у(лу) j + (/za>z) к,
откуда следует, что связь между проекциями на координатные оси векторов L и о) дается соотношениями:
Lx ~ IxCOjc-, Ly ~ Iyfoy, Lz — Iz(S)z. (43.3)
Еще сложнее оказывается эта связь, когда координатные оси не совпадают с главными осями инерции тела. В этом случае соотношения между проекциями L п о) выглядят следующим образом:
Ij X ~ /-VЛ®X ”1' /У “I” IXZ^Z > 1
Ly = Iух(ах + Iyytdy + Iyzoz, I (43.4)
Lz = /zx(i>x + I Zy(s)y + Izzd)z.
Девять величин Iik (i, k = х, у, г) образуют так называемый симметричный1) тензор второго ранга, называемый тензором инерции. Компоненты тензора Iih зависят от выбора координатных осей. Если оси координат совпадают с главными осями инерции тела, все компоненты, кроме Ixx, Ivy и Izz, обращаются в нуль и формулы (43.4) переходят в (43.3) [в (43.3) Ixx обозначен через Ix и т. д.].
Заметим, что уравнение (37.11), полученное нам»для системы материальных точек, справедливо и для твердого тела. Под L в этом случае следует подразумевать вектор с проекциями на координатные оси, определяемыми формулами (43.4).
¦) Тензор называется симметричным, если его компоненты удовлетворяют условию IiU = !kirn
В заключение разберем случай вращения тела вокруг неподвижной оси z, не совпадающей ни с одной из главных осей инерции. Такая ось может быть неподвижной только при действии на нее внешних сил (см., например, рис. 113). Момент этих сил относительно оси z равен, очевидно, нулю (направления, вдоль которых действуют силы, проходит через ось), однако момент сил отйоси-тельно произвольной точки О, лежащей на этой оси, отличен от нуля. По этой причине момент импульса Lz тела относительно оси z остается неизменным
Lz = Мг, a Mz = 0j, момент же импульса L относительно точки О, который р этом случае не совпадает по направлению с вектором о> (направленным по оси z), поворачивается вместе с телом в пространстве под действием перпендикулярного к нему момента внешних
сил M jL = .
§ 44. Гироскопы
Гироскопом (или волчком) называется массивное
симметричное тело, вращающееся с большой скоростью
вокруг оси симметрии. Ось симметрии является одной из главных осей инерции гироскопа, поэтому момент импульса гироскопа совпадает по направлению с его осью вращения. Для того чтобы изменить направление в пространстве оси гироскопа, необходимо в соответствии с (37.11) подействовать на него моментом внешних сил. При этом наблюдается следующее явление, получившее название гироскопического эффекта: под действием сил, которые, казалось бы, должны были вызвать поворот оси гироскопа OO вокруг прямой О'О' (рис. 119), ось гироскопа поворачивается вокруг прямой 0"0" (ось OO и прямая О'О' предполагаются лежащими в плоско-
