Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Введя в рассмотрение нормальное напряжение
уравнение (45.1) можно записать следующим образомг
Таким образом, относительное удлинение оказывается пропорциональным нормальному напряжению. Из (45.4) вытекает, что коэффициент упругости а численно равен относительному удлинению при напряжении, равном единице.
(45.2)
(45.3)
е = асг,
(45.4)
175
Наряду с коэффициентом упругости а для характеристики упругих свойств материала пользуются обратной ему величиной E= 1/а, которая называется модулем Юнга.
Заменяя в (45.4) а через Е, получим:
откуда следует, что модуль Юнга равен такому нормальному напряжению, при котором относительное удлинение было бы равно единице (т. е. приращение длины AI было бы равно первоначальной длине /), если бы столь большие упругие деформации были возможны (на самом деле, при значительно меньших напряжениях происходит разрыв стержня, еще раньше достигается предел упругости).
С учетом (45.1) и (45.5) соотношение (45.3) может быть приведено к следующему виду:
Где k — постоянный для данного стержня коэффициент.
Согласно (45.6) удлинение стержня при упругой де-» формации пропорционально действующей на стержень силе. Соотношение (45.6) выражает закон Гука для данной деформации. Этот закон выполняется только до тех пор, пока не достигается предел упругости.
Изменение длины стержня при деформации сопровождается соответствующим изменением поперечных размеров стержня d (рис. 125). Это изменение принято характеризовать относительным поперечным расшире-» нием или сжатием:
Очевидно, что є и є' всегда имеют разные знаки: при растяжении Al положительно, a Ad отрицательно, при сжатии Al отрицательно, a Ad положительно. Опыт дает, что е' пропорционально е:
где ц — положительный коэффициент, зависящий только от свойств материала. Его называют коэффициент том поперечного сжатия или коэффициентом Пуассона.
(45.5)
(45.6)
(45.7)
е' = — ЦЄ,
(45.8)
176
Сдвиг. Возьмем однородное тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, и приложим к его противолежащим граням силы fi и їг (/1 = /2 = /), направленные параллельно этим граням (рис. 126). Если действие сил будет равномерно распределено по всей поверхности соответствующей грани Sy то в любом сечении, параллельном этим граням, возникнет тангенциальное напряжение
T яви —
S '
(45.9)
Под действием напряжений тело деформируется таким образом, что верхняя (иа рисунке) грань сместится относительно нижней на некоторое расстояние а. Если тело мысленно разбить
на элементарные гори- а _____
зонтальные слои, то каждый слой окажется сдвинутым относитель*
HO соседних с ним ело* ев. По этой причине деформация такого вида получила название сдвига.
При деформации сдвига любая прямая, первоначально перпендикулярная к горизонтальным слоям, повернется на некоторый угол <р. Следовательно, отношение сдвига 6а двух произвольно взятых слоев к расстоянию между этими слоями 6b будет одинаково для любой пары слоев. Это отношение естественно взять в качестве характери* стики деформации сдвига:
Рис. 126.
= tgcp.
(45.10)
Величина Y называется относительным сдвигом. В силу малости угла ф можно положить tg ф « ф. Следовательно, относительный сдвиг Y оказывается равным углу сдвига ф. Опыт показывает, что относительный сдвиг пропорционален тангенциальному напряжению:
V=Gt-
(45.11)
12 И. В. Савельев, т. I
177
Коэффициент G зависит только от свойств материала и называется модулем сдвига. Он равен такому Іангенциальному напряжению, при котором угол сдвига Оказался бы равным 45° (tgq)= 1), если бы при столь больших деформациях не был превзойден предел упругости.
Кроме разобранных нами основных деформаций, рассмотрим кручение круглого стержня. Если Круглый стержень закрепить одним концом неподвижно, а к другому концу приложить вращательный момент М, имеющий направление вдоль оси стержня (рис. 127), то стержень получит такую деформацию, при которой его нижнее основание повернется по отношению к верхнему на некоторый угол ср.
Легко видеть, что деформация при кручении представляет собой деформацию сдвига. Действительно, если мысленно разбить стержень на элементарные слои, перпендикулярные к его оси, то закручивание приведет к сдвигу каждого из таких слоев по отношению к соседним с ним слоям. Правда, сдвиг этот будет неоднороден: участок слоя AS получает по отношению к аналогичному участку смежного слоя тем большее смещение, чем дальше он отстоит от оси стержня.
Произведя соответствующий расчет, можно показать, в согласии с опытом, что угол закручивания стержня определяется следующим выражением:
1P-W*1' <45Л2>
где I—длина стержня, г—его радиус, G — модуль сдвига, M — вращательный момент.
Обозначая постоянный для данного стержня множитель при M буквой k, соотношению (45.12) можно придать вид
Ф = /гМ. (45.13)
Последнее соотношение выражает закон Гука при кручении. При постоянной длине стержня из данного мате-
178
риала коэффициент пропорциональности k рчень сильно зависит от толщины стержня (как 1 /г4).
