Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
уравнение линии тока в любой момент времени tQ в более приемлемой форме
dx _ dy __ dг ^
u(x,y,z,t0) v(x,y,z,t0) w(x,y,z,t")
38
Дальнейшее изложение в этой части будет посвящено решению этих уравнений
(т. е. определению формы течения) для различных условий.
Дифференциальное уравнение траектории движения, применяемое значительно
реже, чем уравнение линии тока, также целесообразно использовать при
исследовании хотя бы благодаря той ясности, которую оно вносит. В то
время как уравнение линии тока описывает ее вид в данный момент,
уравнение траектории движения обязательно включает элемент времени:
----------=------^---- =----------- = dt. (10)
u(x,y,z,t) v(x,y,z,t) w(x,y,z,t)
Иными словами, t здесь является переменной; начальные условия при t = t0
будут следующие: х=х0, у = уо и z-z0, и окончательное решение имеет вид х
= х(х0, у о, z0, t) и т. д. В сущности, эти два направления представляют
два различных метода анализа движения жидкости: один заключается в
исследовании явлений в выбранных точках пространства с течением времени,
другой рассматривает поведение характерных частиц при движении их от
точки к точке.
Несмотря на то, что оба эти метода были впервые предложены шведским
математиком Эйлером 200 лет назад и затем усовершенствованы французским
математиком Лагранжем четверть века спустя, первый сейчас называется
методом Эйлера, а второй - методом Лагранжа.
20. Функции тока Лагранжа и Стокса. Интересно отметить, что Лагранж, с
именем которого связан анализ движения частиц, первым решил
дифференциальное уравнение линии тока для двухмерного течения:
dx dy
Лагранж доказал, что соответствующее уравнение неразрывности для
несжимаемой жидкости
ди,<Ь=0
дх ду
представляет аналитическое условие, при котором udy = vdx будет точным
дифференциалом, обозначенным им через dip. Воспользовавшись получившимся
равенством
dty = ^ dx -\- - dy = udy - vdx, (11)
дх ду
Лагранж пришел к следующим соотношениям для компонентов скорости:
дя|з dif /10Ч
и = ~г-\ v = - • <12>
ду дх
39
Эти соотношения непосредственно относятся к предыдущему определению
уравнения для скорости через интенсивность потока:
дп
Так как вдоль любой линии тока с!ф = 0, то постоянные величины функции
тока Лагранжа ф, очевидно, соответствуют уравнениям отдельных линий тока.
Систематический вид течения получается при нанесении на график ряда
функций, отличающихся постоянными приращениями (рис. 8).
Рис. 8. График функции тока Лаг- Рис. 9. Функция тока и расход по-ранжа
тока
Дополнительное указание, что двухмерная функция тока не только имеет
размерность объемного расхода потока на единицу расстояния,
перпендикулярного плоскости движения, но и численно равна ему,
доказывается на основании следующих соображений. В соответствии с рис. 9
двухмерный расход потока q через любую линию, соединяющую точку А на
линии тока Фа с любой точкой Р на линии тока фр, может быть выражен
следующим интегралом:
J\dN dN }
А
где L - расстояние вдоль линии АР от точки А к точке Р, а N - расстояние,
перпендикулярное линии, откладываемое в направлении течения. Введение
производных функции тока из уравнений (12) дает выражение
а = Г / ¦ - - - • ~)dL = Г • - 4- - • -1 dL
J I ду dN дх dN ) .] \ ду dL дх dL ) '
А А
40
из которого видно, что расход между двумя линиями тока во всех
последовательных сечениях является просто разницей между соответствующими
функциями тока:
р
<7 = j d ф= - фЛ.
Примерно через 60 лет после Лагранжа английский математик Стокс, следуя
путем, совершенно отличным от пути Лагранжа, выразил в виде формулы
функцию тока для осесимметричного потока.
Стокс брал неподвижную А и переменную Р точки в осевой плоскости (рис.
10), принимая, что расход через кольцевую поверхность, образованную
линией, которая соединяет эти две точки, должен изменяться как функция
положения точки Р. Эту функцию он обозначил 2яф. Ясно, что линии ф =
const представляют линии тока в осевой плоскости. Затем Стокс выразил
компоненты скорости через функции тока, предположив, что точка Р
передвигается на незначительное расстояние сначала в направлении оси z, а
потом в радиальном направлении г. Соответствующие перемещениям дг и дг
незначительные изменения расхода через кольцевую поверхность составят:
2 пгдги - - 2я6ф; 2nrdrw - 2я6ф,
ф-const
Рис. 10. Функция тока Стокса
откуда получатся решения для и и до:
1 дф
и = -
дг '
W
дф
Очевидно, что chp
¦ urdz -\- wrdr и Q = 2я (фр - фл).
(13)
(14)
Соответствующие части этих выражений могут применяться в сферической
записи, если полярную ось сделать осью симметрии:
1 ^ф ^ _ 1 дф
~dR'
(16)
и =
i?asind dd ' i^sind
dty = uR* sin ¦fl'd'fr - vR sin ftdR.
(15)
4-1459
41
Для вышеуказанных условий осевой симметрии функция тока Стокса имела
размерность объемного расхода. Действительно, так как поверхности ф =
const образуют семейство коаксиальных поверхностей вращения, увеличение
расхода бQ между каждой последовательной парой будет отличаться от
