Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
56
ния, и частично от отклонения величины напряжения, заложенного в
деформации жидкости. Таким образом, можно записать:
И совсем как скорость деформации жидкости в любом направлении была
представлена поверхностью деформаций, перпендикулярной относительному
движению около точки, напряжения, соответствующие такой деформации, могут
также быть представлены в виде поверхно- в
Q'J'Jj л ?4 Г\ ТТ Л ТТ ТТ TI Т/'Л 7 ТТ ГГ ПЛТГ попил
действующей напряжений на плоскости, проходящей через точку. Уравнение
этой поверхности имеет вид:
Установлено, по крайней мере для потока однородной несжимаемой жидкости,
что поверхности деформаций и напряжений для любой точки геометрически
подобны. На рис. 20 показано осевое сечение поверхности напряжений,
сравниваемое с сечением поверхности деформаций, изображенным на рис. 14.
Видно, что результирующая напряжений на плоскости, перпендикулярной к б
г, как правило, наклонена к б г, и поэтому основные оси поверхности
напряжений соответствуют только направлениям чистого растяжения или
сжатия. Если для большей ясности предположить, что три ортогональные
поверхности элементарного тетраэдра составляют прямые углы с основными
направлениями (рис. 21), то очевидно, что интенсивность полного
нормального напряжения а = -р + а' и касательное напряжение т на
наклонной поверхности элемента будут зависеть как от местного среднего
давления, так и от главных напряжений, обуслов-
аг = -р + a't.
У
А
Л
Рис. 20. Сечение поверхности напряжений
Рис. 21. Основные напряжения по граням тетраэдра
а'х (ЙХ)2 + а'у (ьУ)г + а'г (6z)2 + 2txy bxby -f 2хуг bybz +
+ 2xzxbzbx = const.
57
ленных деформацией. Если (и только в этом случае) касательное напряжение
равно нулю, нормальное напряжение буде зависеть только от трех главных
напряжений и давления. Действительно, простое уравнение статического
равновесия показывает тогда, что все четыре величины идентичны. Поэтому
прй отсутствии сдвига, обусловленного деформацией, нормальноЕ напряжение
на любой плоскости, проходящей через точку должно быть равно местному
давлению.
26. Уравнения движения. Если сложить вместе силы, действующие на
единицу массы в каждом из координатных направле ний, и суммы приравнять к
соответствующим компонентам ускорения, получатся следующие соотношения:
ди
~dt~
ди
~дГ
ди
~дх
ди
ди . ди v I
U w = л-------------------------------
ду dz р
дах + дхух дт2Х
дх ду dz
, ^ , до , до
•4- ц -j- и -4- Х?)------------------------------------
дх ду dz
др
дх
др
ду
+
1
дх
ху
до,,
дх
дх
zy
ду
dw , dw dw , dw
-j- U ---------------- -f~ X) ' -\-%0 ------------------
dt dx dy dz
dz
dp
dz
+
+
i
dr.
dr,
yz
da,
dx
dy
dz
(21]
Как видно, эти уравнения не имеют ограничений в отношении сжимаемости,
вязкого сдвига, турбулентности и других факторов. Короче говоря, они
являются общими уравнениями движения жидкости. Их форма схожа с
малоизвестным выводом Сен-Ве-нана, составленным более 100 лет назад, хотя
и без указания исторического значения.
Вообще состояние потока не имеет единственного определения, за
исключением следующих двух групп установленных условий: 1) начальные
условия или поле скоростей в какой-то момент времени ^0; 2) граничные
условия или скорости (или напряжения) на всех поверхностях разрыва,
твердых или жидких. Как начальные, так и граничные условия могут,
очевидно, изменяться по характеру в большой степени, хотя некоторые общие
установки здесь могут быть сделаны. Например, у неподвижной границы,
представленной уравнением F(x, у, z)=0, скорость может быть только
касательной, т. е.
дх , ду . dz dF , dF . dF
и \-v-- 4- w - и H v \-w
дп дп дп дх ду dz
0.
58
Если поверхность является единственной поверхностью разрыва,
характеризуемой резким изменением скорости между двумя касательными
потоками, тогда
/ \ dF I / \ &F I / \ &F п
(u2-u1)-- + (v2 - v1)-7- + (w2 - шх) -- = 0. дх ду дг
Каждый из них фактически является отдельным случаем общего
кинематического условия, соответствующего движущейся поверхности F(x, у,
z, t) =0. Частицы у поверхности остаются в контакте с ней, их
относительная скорость будет иметь исключительно касательное направление.
Производная Стокса от F составит
DF dF , dF . dF , dF " ,ооч
=----------\-u------\-v-----\-w-------= 0. (22)
Dt dt дх ду дг
К сожалению, сама неопределенность уравнений движения делает их
непригодными для какого-либо использования, кроме получения качественных
заключений. Для количественного приложения не только силовые члены должны
быть отнесены к конкретным свойствам жидкости и потока, но и многие
другие переменные, которые содержатся в трех данных уравнениях, должны
быть исключены из рассмотрения одним из способов упрощения. Члены,
включающие нормальные и касательные напряжения, а также упрощающие
допущения, обычно используемые при таком анализе, будут приведены в
следующих главах, посвященных вопросам ламинарного и турбулентного
потоков. Для настоящего момента достаточно рассмотреть форму, в которой
