Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
произведения плотности и компонентов скорости и, v и w заменить на Р, Q и
R, то будет видно, что интеграл поверхности определяет расход потока
массы наружу от поверхности. Для сохранения массы он должен быть равен
расходу, на который уменьшается масса, находящаяся к данном пространстве.
Если обозначить массу, содержащуюся в единице объема, через pdW,
интенсивность уменьшения ее интеграла по поверхности объема W в свою
очередь будет равна объемному интегралу справа:
р" -АЕ 4- pv -А^- + рда Al'u.S -------- Гр дур =
у дп у дп dn ) dt у
s w
д (ри) . д (р у) . д(рау)'
w
дх ду дг
dW.
Так как - Г рdW= Г - dW и поскольку эти результаты вер-dt ,J J dt
w w
ны для произвольных объемов, интегралы тоже должны быть 36
равны, и тогда выражение сводится к интегральной форме уравнения
неразрывности.
Пример 3. Определить подходящую форму уравнения неразрывности для
несжимаемой жидкости с переменной плотностью (плотность изменяется от
точки к точке, а в результате движения потока время от времени в каждой
точке). Плотность бескопечномалых элементов потока остается постоянной по
времени.
За основу анализа примем общее уравнение (3). Руководствуясь равенством
xdy = d(xy)-ydx, можем преобразовать уравнение (3):
/ ди dv dw \ до до др др
-р -------+----- +------ = -^ + и -- + V -- + w -- .
V дх ду dz j dt дх ду дг
Правая часть этого уравнения представляет общую производную плотности по
времени (см. п. 24). Так как эта общая производная выражает изменение,
испытываемое элементом с течением времени, обе стороны данного уравнения
должны быть равны нулю. Следовательно, к этому случаю применимо уравнение
(4), так же как к случаю с постоянной плотностью.
Б. Характеристики форм течений
19. Линии тока. Линия, касательная в каждой точке которой в данный
момент представляет вектор скорости, называется линией тока. Так как
вектор скорости в данной точке указывает направление движения частицы
жидкости, проходящей через нее, линия тока характеризует путь всех частиц
жидкости, лежащих на ней. Однако тогда как путь частицы жидкости
представляет траекторию ее движения с течением времени, линия тока
отражает мгновенную картину движения в различных точках. Даже когда
направления траектории движения и линии тока совпадают в месте
расположения частицы, можно рассчитывать, что где-нибудь они разойдутся
из-за изменения скорости как функции времени и расстояния. Только если
сами линии тока не изменяются по форме и положению в зависимости от
времени, они представляют пути действительного следования отдельных
частиц.
Как от траектории движения, так и от линии тока следует отличать так
называемую линию отмеченных частиц: линию, которая соединяет все частицы,
прошедшие последовательно через данную точку в пространстве.
Относительные формы этих трех видов линий для плоской металлической
пластинки, движущейся справа налево, показаны на рис. 7. Мгновенные линии
тока соответствуют виду течения, существующему в то время, когда
металлическая пластинка достигает указанного положения. Траектории
движения определяют последующие направления частиц, проходящих
фиксированные точки А и В\ линии отмеченных частиц соединяют все частицы,
которые прошли точки Л и Б до того, как металлическая пластинка достигла
настоящего положения. Действительно, мгновенные линии тока для данного
состояния движения могут быть получены путем фотографиро-
37
вания на пленку с короткой выдержкой хорошо освещенных частиц алюминия
или другого отражающего материала, находящегося во взвешенном состоянии
или плавающего на поверхности движущейся жидкости. Многочисленные штрихи,
которые представляют по существу траектории движения, показывают при этом
мгновенное направление движения во всех точках. Если форма течения
изменяется со временем, траектория движения может фиксироваться с помощью
фотографирования через промежутки времени сравнительно немногих
отражающих частиц; при изучении как установившихся, так и
неустановившихся речных потоков часто используются плавающие кусочки
свечи (па-
Рис. 7. Линии отмеченных частиц (/), линии тока (2) и линии траектории
движения (3)
рафина). Линии отмеченных частиц получаются, когда в данной точке в
жидкость непрерывно вводится краска или другое вещество, пригодное для
трассирования. Таким образом, беспорядочная нить краски, наблюдаемая на
ранних стадиях турбулентности в приборе Рейнольдса, показывает не
мгновенное направление движения у всех точек вдоль нее и не направление
следования Отдельной частицы, а просто положение тех частиц жидкости,
которые прошли точку, в которой вводится краска.
Так как перемещения частиц жидкости определяют направления линий тока,
проходящих через данные точки, можно считать,
что соотношение ds=Vdt включает в обозначение вектора дифференциальное
уравнение данной линии тока. Полезнее записать это в форме перемещений в
каждом из трех направлений декартовых координат
dx = udt\ dy = vdt; dz = wdt, которые позволяют выразить дифференциальное
