Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
dp - vpcik "Ь ^ ^ ^kijeijCij, (21.17)
*" j
где а соответствует Ф и Т.
Основной вопрос, который возникает при построении галеркинской
аппроксимации уравнении гидродинамики: сколько мод учитывать в
разложении? Каких-либо четких алгоритмов здесь нет; единственным
критерием правильности конечномерного описания является сравнение его с
точным решением (если оно известно) либо с экспериментом. Поэтому обычно
строить такую конечномерную аппроксимацию имеет смысл лишь в тех случаях,
когда ясно, какую картину течения мы хотим описать. Описанный способ
конечномерного усечения уравнений гидродинамики является не единственным
и, возможно, не всегда оптимальным. Конечномерные модели могут строиться,
в частности, по принципу моделирования основных свойств этих уравнений -
квадратичности, симметрий, законов сохранения и т. д. (так называемые
системы гидродинамического типа [4]). Для четырехвихревой кон-
454
Глава 21
векции в ячейке Хеле-Шоу представляется естественным ограничиться учетом
первых трех мод полей скорости и температуры ((пт) = = (11), (12), (21),
(31), (22)) и двумя пространственно однородными по х модами Toi и Т02,
учитывающими изменение равновесного распределения температуры за счет
конвекции. Для того чтобы продемонстрировать возникающие здесь
математические трудности, приведем систему уравнений (см. [10]) для этих
мод (вместе с коэффициентами, выписанными лишь в первых семи уравнениях;
другие положительные коэффициенты опущены):
i'll - - 3(?21$12 + Т12Ф21) - 4(Гз1Ф22 + Д22Ф31) + 2Т01Ф12 -
+ 4(ГцФ22 - Д22Ф11) + 5(Г21Ф12 - Т12Ф21),
Ф12 - - Ф12 ~ Т12 + Ф11Ф21 + Ф21Ф315
ф21 = - ф21 - 221 - Ф12Ф11 - Ф31Ф12;
Ту2 = - Г12 - Ф12 + ЗщФц + Т21Ф 31 + Т31Ф21 + Д11Ф21 + Д21Ф11,
Т21 = -Т21 - Ф21 + 201Ф22 + Т11Ф12 - Д12Ф11 - З31Ф12 - Т12Ф 31>
Toi = -Tqi - Т11Ф12 - Т21Ф22 - ГщФц - Т22Ф21
Фи _ _9 Ф12Ф21 - 4 ^ Ф31Ф22 -
1 + ? 1 + ?
Т02 - - ^4ре + i j 2'о2 + 2ТцФц + 4Т21Ф21 + 6Т31Ф31,
Ф22 - -Рг [4р(1 + е) + Ф22 - ^Т22 + Ф11Ф31 ?
Т22 = - [^4р(1 + е) + д] ^22 - 2Ф22 + 4(ТцФз1 + Г31Ф11) + 4Т01Ф21,
ФцФзь
Фз1 = -Рг [р(9 + е) + \] Фз1 - -
- 12 g ^ ? Ф22Ф11 + 15g- - Ф12Ф21)
Т31 = - jp(9 + e) + Ф31 - 3(1 + 4Т0г)Фз1 +
(21.18)
21.6. Периодические автоколебания в гидродинамических течениях 455
(р = 1/i2, ? = L2/Н2). Здесь для удобства введены новые единицы времени,
функции тока и температуры, отличающиеся от старых соответственно
множителями 1 /7г2, (3/2)LHtt, (3/2)Н.
Подчеркнем еще раз, что рассмотрение лишь конечного числа основных
базисных функций, учитывающее стабилизирующее действие вязкости (лишающей
мелкомасштабные возмущения "самостоятельности" - они следят за более
крупными), естественно ограничивает диапазон чисел Рэлея, в котором еще
можно пользоваться системой (21.18).
Общий анализ системы (21.18) требует обращения к вычислительной технике.
Однако некоторые выводы можно получить и непосредственно, анализируя
структуру этих уравнений. В частности, видно, что Ф1а, Тц, То2 (эти
возмущения описывают одновихревое движение) не генерируют других
возмущений, т. е. решение системы1
(а = 1 +е, b = 4р? + 1/4, с = ра+ 1/4) является решением и полной системы
(21.18). Это решение, естественно, будет иметь смысл, лишь если оно
устойчиво по отношению к нарастанию остальных возмущений. Соответствующий
анализ, хотя и несколько громоздок, но довольно прост для стационарного
решения системы (21.19):
Читателю предлагается убедиться самостоятельно, что, например, при числе
Прандтля Рг = 7 возмущения Ф22, Гг2, Гзх начинают нарастать (на фоне
(21.20)) при числах Рэлея RaKp и l,4Rai. Численный анализ (21.18)
показывает [10] возникновение устойчивых периодических автоколебаний в
рассматриваемой задаче при Ra2 > RaKp. Эти автоколебания соответствуют
упоминавшемуся периодическому перезамыка-нию вихрей.
Фи = -сРгФц - (Ra Рг/7г2а)Гц,
Тц = -сТц - (4Го2 + 1)Фц, Г02 = -ЬТо2 + 2ГцФц
(21.19)
(21.20)
1Эта система совпадает с известной системой Э. Лоренца, которую мы будем
подробно обсуждать в следующей главе.
Глава 22
Стохастическая динамика простых систем
22.1. Как появляется случайность в динамической системе
Все рассмотренные в предыдущих главах явления и эффекты относятся к
разряду регулярных - это колебания или волны в системах или средах без
флуктуаций, не требующие для своего описания статистических методов.
Накопленный нами опыт и интуиция говорят о том, что в динамической
системе, описываемой регулярными уравнениями, ничего нерегулярного,
случайного, стохастического быть не может. Да и откуда взяться
случайности, если задан однозначный алгоритм поведения, определяющий при
конкретных начальных условиях однозначное будущее системы на сколь угодно
больших временах1? Конечно, если система очень сложна - обладает большим
числом степеней свободы (например, газ в сосуде), мы понимаем, что
детерминированное описание теряет смысл (но в принципе возможно). Оно
теряет смысл хотя бы потому, что невозможно задать точно начальные
