Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
называться детерминистической. Борн подчеркивает, что данное определение
детерминированности отличается от традиционного изменением
последовательности предельных переходов при ? -> 0 и t -> оо. Обычно
сначала область начального рассеяния стягивается в точку, а затем
смотрится поведение при t -" оо (и, конечно, получается полная
предсказуемость!). Этот путь, однако, является нефизичным. и его следует
заменить другим: сначала при заданном е определить поведение траекторий и
область конечного рассеяния (т. е. поперечное сечение трубки траекторий)
при любом t и определить, как ведет себя конечное рассеяние при t -" оо,
а затем уже устремить начальное рассеяние к точке. Если конечное
рассеяние траекторий при t -> оо нарастает, то поведение системы
непредсказуемо.
Поясним это на примерах. Обратимся к уже известным нам фазовым портретам
некоторых динамических систем второго порядка (рис. 22.1). В случае рис.
22.1а система имеет единственное асимп-
22.1. Как появляется случайность в динамической системе
459
Рис. 22.1. Эволюция элементарного фазового объема на плоскости в случаях:
а - устойчивого состояния равновесия; б - предельного цикла; в -
сепаратрисы, идущей из седла в седло
тотически устойчивое состояние равновесия (фокус). Ясно, что здесь
движение системы абсолютно предсказуемо: любая область начальных
отклонений е стягивается в точку при ?-"оо. В случае рис. 22.16 ситуация
сходная: при ?-+ оо движение полностью определено - это периодическое
движение с известными амплитудой и периодом; на фазовой плоскости ему
соответствует устойчивый предельный цикл. При наличии разброса в
начальных отклонениях е остается неопределенной только фаза конечного
движения (точка, в которой траектория выходит на предельный цикл). В
случае рис. 22.1в движение при t -" оо остается предсказуемым, если
начальные отклонения принадлежат области е1; однако их принадлежность
области ?2 может уже привести к существенно разным движениям, хотя это
еще и не полная непредсказуемость.
Ситуация меняется, если траектории на фазовой плоскости перестают быть
устойчивыми по Ляпунову. Например, в случае неустойчивого фокуса (рис.
22.2) малый разброс начальных отклонений ведет к тому, что при достаточно
большом t уже нельзя точно определить состояние системы (она может
находиться в любой точке области а).
Таким образом, наличие неустойчивости для непредсказуемости необходимо.
Но для стохастичности этого еще недостаточно. Нужно еще перепутывание
траекторий, а для этого необходимо, чтобы они оставались в конечной
области фазового пространства, т. е. нужна возвраща-емость фазовых
траекторий. На фазовой плоскости с примером возвра-щаемости траекторий мы
встречались: точка, движущаяся по замкну-
Рис. 22.2. Эволюция элементарного фазового объема на плоскости в случае
неустойчивого состояния равновесия
460
Глава 22
той траектории, близкой, например, к сепаратрисе, выходя из окрестности
седла, возвращается в нее же. Однако никакой случайности тут нет. Для
получения случайного движения надо, чтобы изображающая точка имела
возможность двигаться по разные стороны от сепаратрисы - то по замкнутым
траекториям, то уходя от них. На плоскости в силу того, что фазовые
траектории не пересекаются, этого быть не может. Но уже в трехмерном
фазовом пространстве (система с полутора степенями свободы) подобные
ситуации возможны.
Итак, для возникновения стохастических движений в динамической системе
необходимо, чтобы в фазовом пространстве этой системы:
а) все (или почти все) соседние траектории внутри некоторой области
разбегались; б) все они оставались внутри ограниченного фазового объема.
Подчеркнем, что неустойчивость всех (или почти всех) траекторий,
располагающихся в ограниченной области фазового пространства, обычно и
служит математическим критерием стохастичности.
В трехмерном фазовом пространстве указанное поведение траекторий легко
себе представить: разбегаться они могут по двумерной поверхности, а
возвращаться - выйдя в пространство.
Рис. 22.3. Простой пример возвращающейся неустойчивой траектории:
траектория - раскручивающаяся плоская спираль, хвост которой, загибаясь к
ее началу, вновь раскручивается
Траектория при этом может выглядеть, например, как раскручивающаяся
плоская спираль, хвост которой, возвращаясь к ее началу, вновь
раскручивается (рис. 22.3). Располагаясь таким образом, траектория
заполняет ограниченный объем, нигде не замыкаясь, и ведет себя очень
сложно и запутанно. Имея в виду сложность индивидуальной установившейся
траектории и совершенно различное поведение траектории, имеющих сколь
угодно близкие начальные условия, мы приходим к пониманию того, что
появление статистических черт в поведении динамической системы связано с
двумя обстоятельствами: во-первых, в определенном смысле случайна почти
каждая из незамкнутых траекторий, располагающихся внутри ограниченного
объема, и, во-вторых, естественным образом появляется понятие ансамбля, к
