Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
внутри ограниченной области неустойчивы, то капля будет непрерывно
растягиваться, приобретая все более сложную форму, и при t -> оо она
более или менее равномерно окрасит всю область, т.е. перемешивается с
неокрашенной жидкостью. Таким образом, в системе с неустойчивыми
траекториями начальное распределение вероятностей стремится к некоторому
установившемуся - инвариантному - вероятностному распределению, которое и
определяет статистические свойства стохастических движений
детерминированной системы.
Итак, мы будем говорить, что динамическая система является
стохастической, если: 1) существует предельное распределение вероятностей
в фазовом пространстве системы, к которому стремится любое начальное
неравновесное распределение (мы здесь для простоты считаем, что такое
распределение единственно); 2) поведение системы эргодично-среднее по
времени для произвольной функции, заданной в фазовом пространстве, равно
среднему по предельному (инвариантному) распределению; 3) движение
системы характеризуется сплошным спектром, т. е. спадающей
автокорреляционной функцией [1].
Для каждой конкретной системы проверка этих условий представляет собой
чрезвычайно трудную математическую задачу. Поэтому мы обычно будем
ограничиваться проверкой более слабых условий. В частности, будем
пользоваться критерием стохастичности, в основе которого лежит
определение величины h, характеризующей разбегание соседних траекторий в
линейном приближении: если эта величина положительна, то движение
стохастично1. Математическим образом стохастического движения
динамической системы является стохастическое множество траекторий в ее
фазовом пространстве. Для гамильтоновых систем и диссипативных систем эти
множества обладают различными свойствами.
Согласно теореме Лиувилля фазовая жидкость гамильтоновой системы
несжимаема, т. е. начальный поток траекторий сохраняет свой
1Величину h называют метрической энтропией или энтропией Колмогорова-
Синая.
464
Глава 22
объем в фазовом пространстве. При этом справедлива теорема Пуанкаре о
возвращении (см., например, [2]), согласно которой почти все траектории,
расположенные в ограниченном фазовом объеме, будут бесконечное число раз
проходить сколь угодно близко к своим начальным точкам (из-за
несжимаемости фазовой жидкости им просто некуда деваться). Граница
стохастического множества в этом случае может быть устроена очень сложно,
а само стохастическое множество может "разрываться" произвольным числом
областей, где движение регулярно - так называемые "островки"
устойчивости2.
В диссипативных системах ситуация иная - по определению фазовый объем в
таких системах в среднем сжимается, т. е. в среднем по фазовому
пространству div и < 0 (и - векторное поле в фазовом пространстве). Хотя
сжатие фазового объема - локальное свойство фазового потока (его можно
проверить в любой момент времени в каждой точке), в практически
встречающихся системах с трением или вязкостью оно часто влечет за собой
глобальное свойство - существование в фазовом пространство аттрактора -
замкнутого множества, к которому при ? ->¦ ос стремятся все окружающие
траектории и остаются в нем. Устойчивое состояние равновесия и устойчивый
предельный цикл - знакомые нам примеры регулярных аттракторов. Поскольку
фазовый объем в диссипативной системе сжимается, аттрактор имеет нулевой
фазовый объем. Всякая траектория, не принадлежащая аттрактору, является
переходной.
Таким образом, стохастическое множество в диссипативной системе - это
замкнутое притягивающее множество траектории, на котором все
принадлежащие ему траектории неустойчивы. Такое множество называют
странным аттрактором [34, 35]. Размерность странного аттрактора всегда
меньше размерности фазового пространства.
Обратим внимание на то обстоятельство, что большинство физических
диссипативных систем со странными аттракторами, строго говоря, не
удовлетворяют определению стохастической системы, которое мы дали выше.
Дело в том, что странный аттрактор наряду с множеством неустойчивых
траекторий может включать в себя и устойчивые периодические траектории,
однако области их притяжений настолько малы, что они не сказываются на
поведении системы ни в физическом, ни в численном эксперименте. Именно
поэтому диссипативные системы с такими аттракторами мы будем называть
стохастическими.
2Примером стохастического множества в гамильтоновой системе является
гомоклиническая структура, возникающая в окрестности гомоклинической
траектории (см. гл. 15). С другими примерами мы встретимся в конце данной
главы и в гл. 23; подробнее см. [3, 4, 33-41].
22.2. Стохастическая динамика одномерных отображений 465
22.2. Стохастическая динамика одномерных отображений
Как мы видели в гл. 15, исследование поведения динамической системы,
описываемой дифференциальными уравнениями (см. § 15.3), существенно
упрощается, если от системы с непрерывным временем перейти к системе с
дискретным временем. Такой переход осуществляется с помощью введения
