Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
которому мы привыкли в приложениях теории вероятности. Это ансамбль
разнообразных отрезков траекторий внутри нашего неустойчивого объема.
Такой ансамбль обычно определяют, задавая плотность распределения
вероятностей на фазовом пространстве. Физически такое задание ве-
22.1. Как появляется случайность в динамической системе
461
роятностей соответствует рассмотрению эволюции ансамбля тождественных
систем с различными начальными условиями. Подчеркнем, что переход к
ансамблю не означает добавления к нашей динамической системе какого-либо
случайного фактора; это лишь способ, позволяющий количественно определить
число траекторий с теми или иными свойствами.
Для исследования конкретных статистических свойств динамической системы
необходима какая-то гипотеза, позволяющая проводить усреднение. В
приложениях теории вероятностей, как известно, истинные вероятности
определяются на основании статистических наблюдений частот появления тех
или иных событий. Существование пределов этих частот есть следствие
закона больших чисел. Для динамических систем вместо рядов статистических
наблюдений рассматривают средние по времени характеристики траекторий.
Такой характеристикой может быть, например, доля времени, проводимая
отрезком траектории длины Т в определенной ячейке фазового пространства.
В случае, когда для любой ячейки и большинства траекторий (за
исключением, может быть, множества траекторий меры нуль) существует
предел при Т -> оо доли времени, проводимого таким бесконечно длинным
отрезком траектории в ячейке, и когда этот предел не зависит от
траектории, ансамбль из отрезков траекторий называют эргодическим.
Свойство эргодичности позволяет заменить усреднение по ансамблю
усреднением по времени.
В консервативных системах, в которых энергия сохраняется, существование
временных средних следует из эргодической теории динамических систем,
независимость же средних от траектории пока остается в общем случае
гипотезой, которая восходит еще к JI. Больцману.
Эргодичность -- это, конечно, еще не случайность, более того, совсем
простое квазипериодическое движение u(t) = а\ sina>if + a2 sinu^ где u>i
и и>2 несоизмеримы (т. е. mwi ф П2Ш2, где щ, п2 - целые), будет
эргодичным. В фазовом пространстве такому движению соответствует нигде не
замыкающаяся намотка тора. Усреднение по ансамблю траекторий здесь
эквивалентно усреднению по времени, но разбегания траекторий здесь нет.
О степени стохастичности движения системы часто судят по скорости
спадания автокорреляционной функции
т
К(t,) - lira T_1 f f(x(t, + T))f(x(r)) dr. (22.2)
T->oo J 0
462
Глава 22
Здесь по-прежнему предполагается эргодичность. Присутствие в K(t)
периодической или квазипериодической составляющей означает, что в
исследуемом движении есть периодические или квазипериодические компоненты
(например, незамкнутая траектория на торе). Развитая стохастичность
приводит к тому, что функции f(x(t + т)) и f(x(r)) очень быстро
становятся независимыми, т. е. K(t) достаточно быстро стремится к нулю.
Спектр реализации в этом случае сплошной.
Напомним, что корреляционная функция K(t), характеризующая зависимость
значения переменной в данный момент времени от значений в другой момент,
всегда действительная четная функция с максимумом в точке t = 0. Эта
функция может быть как положительной, так и отрицательной. Функция K(t),
имеющая вид острого импульса с быстрым спаданием к нулю, характерна для
широкополосного случайного процесса с нулевым средним значением (если
среднее (u(t)) не равно нулю, то К(оо) = (u(t))2). Для белого шума -
случайного процесса, энергия которого равномерно распределена по всем
частотам, K(t) имеет вид ^-функции.
Если речь идет о стационарном случайном процессе, то фурье-образ
автокорреляционной функции - это спектральная плотность процесса, равная
среднему от квадрата значений реализации, пропущенной через частотный
фильтр с полосой пропускания Аш:
Спектр Sv(u>) - всегда действительная неотрицательная функция.
Если спадание K(t) (к среднему) экспоненциально, то говорят, что в
системе есть перемешивание. Перемешивание есть несомненный признак
стохастичности динамической системы [1]. Достаточно наглядно процесс
перемешивания в фазовом пространстве можно представить себе следующим
образом. Возьмем ансамбль траекторий с начальными условиями внутри
маленького фазового объема - "капли фазовой жидкости". Пусть эта "капля"
отличается по цвету от остальной жидкости внутри рассматриваемой области
фазового пространства. Если
т
Su(d) = u2(t, ш, Аш) dt ,
или
5"(ш) = 2 J K(t)eia,t dt = K(t)
cos wtdt.
(22.3)
о
22.1. Как появляется случайность в динамической системе
463
Рис. 22.4. Эволюция "капли фазовой жидкости" в окрестности предельного
цикла
в этой области есть, например, устойчивый предельный цикл, то через
некоторое время наша капля растянется вдоль предельного цикла (рис. 22.4)
и окрасит лишь узкий поясок в окрестности цикла. Если же все траектории
