Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Как меняется сигнал в процессе распространения в такой среде? Если mо =
0, то и т(х, t) = 0, т. е. начальное значение сохраняется.
Если же то ф 0, то с течением времени (t -1 оо) амплитуда стремится к
постоянному значению т = 1. Когда мы посылаем на вход импульс
произвольной формы, в процессе распространения он превращается в
прямоугольный со стандартной амплитудой. Если, например, на границе среды
задана синусоидальная волна, то она превратится в последовательность
прямоугольных импульсов с последовательность прямоугольных импульсов с
амплитудой /З-1/2 (рис. 21.2). Таким образом, мы получили, что в такой
нелинейной среде произвольное начальное возмущение превращается либо в
пространственно однородное, либо в разрывное - разрыв возникает в точках,
где то(х) = 0. Возникновение разрывов есть, очевидно, результат
пренебрежения дисперсией в области быстрых изменений поля.
21.3. Стационарные волны
Наличие дисперсии в области высоких частот (малых масштабов) приведет к
тому, что высшие гармоники начального возмущения не будут находиться в
синхронизме с основной волной, я спектр нелинейной волны будет ограничен.
Проследить аналитически за эволюцией волны в активной нелинейной среде с
дисперсией, к сожалению, не удается, поскольку даже простейшие из
уравнений, описывающих распространение волн в таких средах, не решаются.
Особый интерес поэтому представляет исследование стационарных волн -
волн, распространяющихся с постоянной скоростью и без изменения формы,
которые
Рис. 21.2. Превращение синусоидальной волны, поступающей на вход линии
(рис. 21.1а) в последовательность прямоугольных импульсов
21.3. Стационарные волны
441
устанавливаются в результате конкуренции между действующими нелинейностью
и дисперсией.
Учтем теперь высокочастотные потери (мнимая дисперсия), т. е. обратимся к
уравнению (21.2). В этом случае, очевидно, фронт сгладится. Для решения
уравнения воспользуемся приближением стационарных волн. Заметим, что в
автоколебательных системах (речь идет о кольцевых либо безграничных
системах) стационарным волнам принадлежит, по-видимому, особая роль,
подобная роли предельных циклов в сосредоточенных системах. Это удобно
пояснить с помощью спектрального подхода, в рамках которого стационарную
волну можно рассматривать как сумму гармонических волн, амплитуды и фазы
которых связаны друг с другом алгебраически, т. е. стационарной волне
можно поставить в соответствие равновесное состояние системы уравнений
для комплексных амплитуд гармоник.
Период установившейся стационарной бегущей волны определяется либо
граничными, либо начальными условиями. Скорость стационарных волн зависит
от нелинейных и дисперсионных свойств среды и является параметром, разным
значениям которого соответствуют разные типы стационарных волн. Однако в
отдельных случаях периодические волны в неравновесных средах могут
распространяться лишь с одной определенной скоростью.
Перейдем в уравнении (21.2) к бегущей координате ? = х - Vt, где V -
скорость распространения стационарной волны, тогда уравнение запишется
следующим образом:
(V0 - V) dU/di = vd2U/dt2 + (g/C)U(l - /3U2). (21.4)
Это уравнение описывает стационарную бегущую волну. По форме оно
совпадает с уравнением сосредоточенного нелинейного осциллятора с
затуханием 5 = V - Vo- Ясно, что интересующие нас периодические решения
существуют лишь при V = Vo- Фазовый портрет системы для этого случая
приведен на рис. 21.3. Автоколебаниям в виде периодических стационарных
волн соответствует непрерывный континуум замкнутых траектории. Амплитуда
такой волны определяется ее периодом. Сведение задачи об автоколебаниях в
распределенной системе к исследованию уравнения нелинейного осциллятора,
привычного для консервативных систем, кажется парадоксальным. Этот факт,
однако, имеет простое физическое объяснение. Дело в том, что
энергетический баланс между процессами диссипации и отбора энергии у
активной среды в данном случае выполняется сразу для непрерывного
множества стационарных волн, распространяющихся со скоростью Vo- Это
возможно
442
Глава 21
лишь при отсутствии в среде реактивной дисперсий, которая приводит к
зависимости амплитуды периодической волны от ее скорости.
Наличие в системе (рис. 21.3) сепаратрис, идущих из седла в седло,
означает, что в ней могут распространяться стационарные перепады или
импульсы с конечной шириной фронта (рис. 21.4) - диссипативные солитоны.
Рис. 21.3. Фазовый портрет системы, описывающей стационарные волны в
нелинейной активной среде с мнимой дисперсией
Рис. 21.4. Стационарный перепад или импульс с конечной шириной фронта,
соответствующий сепаратрисам, идущим из седла в седло
Амплитуда и форма периодической волны определяются ее периодом (краевыми
условиями) и видом нелинейности. Например, в линии передачи с туннельными
диодами, рабочая точка которых находится на падающем участке
характеристики близко к максимуму, нелинейность квадратична (в уравнении
