Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
пренебрегли слагаемыми, пропорциональными /j2-, так как fix 3> fi2-
Неравенство (6.22) означает, что в области изменения Е, где имеет место
отрицательное дифференциальное сопротивление, переход электронов из
нижней долины в верхние (изменение концентрации электронов) должен
протекать достаточно эффективно при малых изменениях Е.
Приведенная выше качественная картина образования отрицательного
сопротивления справедлива, если переход электронов из нижней зоны в
верхнюю происходит по всему объему полупроводника равномерно и
одновременно. На самом деле эта картина усложняется тем, что появление
участка вольт-амперной характеристики с отрицательным сопротивлением
приводит к неустойчивости протекания тока через полупроводник и к
образованию движущихся областей сильного поля - доменов. При этом
существешны нелинейные эффекты, которые рассматриваются во второй части
книги.
Неконсервативная неустойчивость систем с одной степенью свободы,
образцами которой являются неустойчивый фокус или неустойчивый узел, не
обязательно связана с трением или вязкостью. Например, в известной
экологической модели Вольтерра (см. гл. 1), описывающей изменение
численности видов в системе "хищник - жертва",
iVx = 7х1Ух(1Уж - vx). Мж = 7Ж1УЖ(1 - Nx - рж), (6.23)
6.5. Механизмы неустойчивостей
145
где'ТУх, Nx - число хищников и жертв соответственно, ух, уж - параметры,
характеризующие скорость размножения объектов; параметры vx и чж
определяют скорость выхода хищников и жертв из сферы взаимодействия (это
может быть, например, смертность в случае млекопитающих или рыб либо
скорость потока в культиваторе в случае, когда речь идет о
микроорганизмах - бактериях и вирусах). Воспользуемся эмпирическим
законом Моно [7], в соответствии с которым скорость размножения хищников
пропорциональна численности жертв, если эта численность мала, и слабо
зависит от нее, если численность жертв велика. Тогда вместо уравнений
(6.23), считаем vx - уж - v (см. [7]). мы будем иметь
N N ¦ N N
Nx = ^^-pNx. Nx = Nxll-v) - (6.24)
r + Nm ' у ' г + NX к '
где г - константа. Эти кинетические уравнения имеют два состояния
равновесия: N° = N° = 0 и Nx = г, = гу/{1 - и). Очевидно, что второе
состояние равновесия имеет смысл лишь при 0 < v < 1. Определим тип этих
состояний равновесия. Линеаризованная система для возмущений пх, пж (Nx =
N° + пх, Nx = N° + пж) имеет вид
. №хпж+№жпх N°N°
- лгП / лгП\9^ж
r + Ng (г + N°)
(6.25)
, №хпж+№жпх №х№ж
Подставляя сюда координаты второго состояния равновесия (первое состояние
равновесия для этой модели интереса не представляет, поскольку при Nx -"
0 несправедлив закон Моно), находим
п-ж - р(1 - у)пж + v(l - р)2пж = 0. (6.26)
Поскольку 0 < v < 1, то интересующее нас состояние равновесия - всегда
неустойчивый фокус (см. плоскость параметров на рис. 1.7). По существу,
здесь неустойчивость также связана с действием положительной обратной
связи - при увеличении численности жертв увеличивается скорость роста
численности хищников, что и отражено в законе Mono.
Рассмотренные нами до сих пор механизмы неустойчивости так или иначе
сводятся к одному механизму, определяемому отрицательным трением
(сопротивлением, проводимостью, вязкостью и т. д.).
146
Глава 6
Действительно, и организация положительной обратной связи, и включение в
LC-контур элемента с падающей вольт-амперной характеристикой приводят к
появлению в уравнении осциллятора одного и того же слагаемого hdx/dt, где
h < 0 (отрицательные потери). При этом достаточно большие положительные
потери, очевидно, подавляют такую неустойчивость. Это самые простые и
привычные, особенно для радиотехников, механизмы неустойчивости. Однако
они не исчерпывают всего многообразия колебательных неустойчивостей: есть
и такие колебательные неустойчивости, для которых внесение в систему
положительных потерь (трения, сопротивления и т. д.) не только не
подавляет неустойчивость, но может даже и усиливать ее.
Мы уже встречались с примером неустойчивости, которая никак не связана с
отрицательной диссипацией, - это неограниченный, се-кулярный рост
колебаний в осцилляторе без трения, на который действует резонансное
гармоническое возмущение1. При отсутствии такого возмущения осциллятор
совершает колебания конечной амплитуды, введение же даже очень малого
возмущения приводит к тому, что колебания нарастают до сколь угодно
большой величины (до бесконечности при t -" ос). Механизм этой
неустойчивости очень прост - периодическое воздействие совпадает по фазе
с колебаниями осциллятора, в результате чего и происходит раскачка.
Нарастание колебаний в гамильтоновой системе (т. е. системе без
диссипации) за счет резонансного отбора энергии у источника возможно и в
том случае, когда этот источник неколебательный. Достаточным для этого
условием является наличие у системы, например, нескольких степеней
свободы (мод, взаимодействующих между собой). Подобная неустойчивость
является, в частности, причиной нарастающих изгибно-продольных колебаний
