Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
7.2. Примеры неустойчивостей
153
Рис. 7.3. Дисперсионные кривые уравнения (7.6) (а) и описываемые
уравнением (7.6) колебания (в плоскости, перпендикулярной рисунку) в
системе связанных маятников (б)
Таким образом, в рассматриваемой системе (7.5) имеется неустойчивость.
Обсуждение вопроса, абсолютная эта неустойчивость или конвективная, мы
отложим до следующего параграфа.
Неустойчивость Тьюринга. В 1952 г. Тыоринг рассмотрел модель кинетики
химических реакций с учетом диффузии. В рамках этой модели обнаружилась
неустойчивость, приводящая к возникновению пространственных структур. По
этой причине модель Тьюринга и сходные с ней модели вызвали чрезвычайный
интерес как модели возникновения структур в биологических системах [2-5].
Мы сейчас рассмотрим устойчивость стационарного состояния в рамках
простейшей модели Тьюринга, описывающей взаимодействие всего лишь двух
веществ с концентрациями Хх и Х2 в одномерном реакторе:
dXl-f(X X ) \ В 9*Xl 9X2 - f (X X ) I D 92X2 Г 7)
-w-f1(X1,X2)+D1-^-r, __/2(Xl!X2)+U2_r. (7.7)
Здесь Dx и D2 - коэффициенты одномерной диффузии, происходящей вдоль
координаты х.
Свяжем систему уравнений (7.7) с конкретной системой химических
уравнений:
А + В^Э + ё,
А^Хх, 2Хх + Х2 ^ ЗХх, к. 1 к.¦>
к з _ к 4
B + Xx^6J + X2, Хх-ё.
к. з к.4
Для простоты будем считать, что кинетические коэффициенты кх = к2 = кз =
к,4 = 1, а к-х = к-2 = к-3 = к-4 = 0. Тогда
154
Глава 7
система соответствующих кинетических уравнений, дополненная слагаемыми,
учитывающими одномерную диффузию вдоль координаты х, имеет вид
= А + Х2Х2 - ВХх - Х\ + ?>1^,
61 дх (7.8)
дХ2 _ ру у2у . п д2Х2 - -ВХг-Х^+D,-^-.
Модель, описываемая уравнениями (7.8), была предложена Приго-жиным и
Лефевром [5] и носит название тримолекулярной модели или брюсселятора.
Это - основная элементарная модель, используемая для описания процессов в
химической кинетике.
Однородное по пространству стационарное состояние системы уравнений (7.8)
(т. е. когда d/dt = д2/дх2 = 0) имеет вид
X? = А, Х2° = В. (7.9)
Для исследования данного состояния на устойчивость найдем уравнение для
малых отклонений х[ и х'2 от (7.9). Полагая Х\ = Xf + х[ и Х2 = Х2 + х2 и
линеаризуя (7.8), получаем
(r)Х1 /г. " д2х\
-Qf - (В - l)xl - А х2 =
(r)х'г л 2 , г. / д2х2
~Ж + А Ж2 + 5Ж1 =Л2 -.
(7.10)
Решение системы уравнений (7.10) будем искать в виде концентрационных
волн
х[, ж2 ~ exp(ipt - ikx), (7-11)
где -ip = и) - неизвестная круговая частота, а к - неизвестное волновое
число. Подставляя (7.11) в (7.10), находим характеристическое уравнение
р2-вр + Д = 0. (7.12)
где
0 = -[A* + l-B + k2(D1 + D2)],
Д = А2 - (В -г 1)В2к2 + A2D1k2 + DxD2k\
7.2. Примеры неустойчивостей
155
Пусть D\ = Л2 = 0. Если речь идет об устойчивости стационарного состояния
во времени, следует определить расположение корней уравнения р2 - в\р +
Дх = 0 с Oi = - (А2 + 1 - В) и Дх = А2 на комплексной плоскости р.
Система без диффузии, таким образом, устойчива, когда
Д1=Л2>0, 0! = -(А2 + 1-В) <0. (7.14)
Может ли диффузия превратить устойчивое в рамках гомогенной модели
состояние (7.9) в неустойчивое?
Как следует из (7.12), система будет неустойчивой при Д < 0, откуда при
учете (7.13) получается условие
Д = D^k* + [А2 - (В - 1 )D2 + ADi] к2 + А2 < 0. (7.15)
Для выполнения этого неравенства к2 должно находиться в интерва-
ле, границы которого к\, к\ определяются из равенства Д = 0, т.е. в
интервале, где
к2 2 = {2D1D2)-1{-[A2D1 -{В- 1 )D2] ±
----------------------------------------- (7.16)
± yj [A2D1 -(В- 1 )D2}2 - Дада}.
Напомним, что теперь D\,Di ф 0 [3] .
Мы получили, следовательно, положительный ответ на наш вопрос: появление
в реакторе диффузии действительно приводит к неустойчивости.
Замечательно, что эта неустойчивость весьма избирательна - нарастают
периодические в пространстве возмущения с пространственным периодом,
лежащим в ограниченном интервале1.
Приведем здесь еще два примера, иллюстрирующих работу распределенных СВЧ-
усилителя (лампа бегущей волны - ЛБВ) и генератора (лампа обратной волны
- ЛОВ). В гл. 4 мы обсудили в связи с объяснением пространственного
резонанса распределенный усилитель - лампу бегущей волны (см. рис. 4.24).
Там же говорилось, что для правильного описания процесса усиления к
уравнению возбуждения волноведущей системы без потерь током электронного
пучка
<7Д7>
(в обозначениях § 4.4) нужно добавить уравнение Ml = const -Е (М -
оператор), учитывающее обратное влияние волноведущей системы на
13десь следует учесть также ограниченность размеров системы [5].
156
Глава 7
пучок и описывающее группирование электронов в сгустки. Уравнение (7.17)
получено в предположении, что все переменные величины изменяются во
времени как ехр(гоЛ), причем и) - действительная величина, поскольку
лампа бегущей волны - усилитель, в котором вдоль длины лампы происходит
экспоненциальное нарастание сигнала вполне определенной частоты,
задаваемой внешним сигналом-генератором.
Пусть электронный поток описывается гидродинамическими уравнениями. Будем
