Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку в данном случае система линейна, произвольное возмущение
(являющееся их суперпозицией) будет расширяться и в +а>, и в -ж-
направлениях. Таким образом, если мы "организуем" в подобной системе
неустойчивость (формально это можно сделать, добавив в левую часть
уравнения слагаемое -Ъ2щ). то эта неустойчивость будет абсолютной --
область распространения захватывает оба полупространства (и левее, и
правее начальной области на оси х (рис. 7.5)). Таким образом,
неустойчивость однородного гравитирующего газа (неустойчивость Джинса) и
неустойчивость в генераторе обратной волны - это абсолютные
неустойчивости.
Характеристики гиперболических систем оказываются связанны-
162
Глава 1
ми с асимптотами дисперсионных кривых соответствующей линеаризованной
задачи. Характеристики и асимптоты одинаково наклонены соответственно на
плоскостях xt и шк. Благодаря этому для гиперболических систем, для
которых число асимптот с конечным наклоном совпадает с числом нормальных
волн, можно уже по виду дисперсионных кривых сказать, будет ли
неустойчивость абсолютной или конвективной. Если угловые коэффициенты
асимптот дисперсионных кривых имеют противоположные знаки, то
неустойчивость абсолютная (рис. 7.5), если они имеют одинаковые знаки, то
неустойчивость конвективная (рис. 7.6).
В первом случае область распространения будет, как на рис. 7.5 а, а во
втором - как на рис. 7.6 а.
а) б)
в)
Рис. 7.6. Связь характеристик гиперболических систем (плоскость xt) с
асимптотами соответствующих дисперсионных уравнений (плоскость шк) в
случае конвективной неустойчивости для двухволновых систем (1-4 имеют тот
же смысл, что и на рис. 7.5) (а, б); рисунки, поясняющие развитие в
системе конвективной неустойчивости (в)
Приведем здесь элементарные сведения из теории характеристик [12, 13].
Запишем систему исходных уравнений в виде
7.3. Абсолютная и конвективная неустойчивости
163
где щ - переменные, описывающие нашу систему, а сщ.(и), Ь,(м) -
нелинейные функции от щ, ... , ип. Уравнения типа (7.32) обычно называют
квазилинейными. Они не содержат нелинейных функций относительно
производных. Будем называть характеристиками линии на плоскости xt,
ограничивающие так называемую область влияния. Если возмущение задано на
некоторой дуге АВ в плоскости xt, то оно влияет на решение щ(х, t)
системы (7.32) лишь в области, ограниченной характеристиками, проходящими
через точки А и В. Поскольку характеристика отделяет возмущенную область
от невозмущеиной, то, задав все величины щ вдоль характеристик (т. е.
известны лишь дщ/ds), невозможно с помощью уравнений (7.32) однозначно
определить нормальные к характеристикам производные дщ/дп. Исходя из
этого будем искать уравнение характеристик. Обозначая тангенс угла
наклона характеристик к оси t через V, выразим дщ/dt и дщ/дх через дщ/ds
и дщ/дп :
= {V2 + l)-i^l _ V(V2 - 1Г1^, at as an
= V(V2 + i)-!^i + (v2 + 1Г1 - . dx ds cm
После подстановки этих производных в (7.32) имеем
- VSik)^ = - ?(Vaik + - Ь,(и). (7.33)
k=1 k=1
Это линейная неоднородная система относительно дик/дп с известной правой
частью. Чтобы из этих уравнений нельзя было определить дии/дп,
необходимо, чтобы определитель ее равнялся нулю:
Det(aifc - VSik) = 0 (7.34)
(Sik - символ Кронекера). Это и есть искомое уравнение для характеристик.
Поскольку это многочлен n-го порядка относительно V, мы найдем наклон п
семейств характеристик. Если система линейна и щк не зависят от и, то
характеристики - это прямые линии на плоскости xt, наклон которых равен
V), где V) - корни уравнения (7.34) {1= 1, 2, , п).
Линеаризованная система (7.32) описывается дисперсионным уравнением
164
Глава 7
Легко заметить, сравнивая (7.35) с (7.34), что в асимптотике при к -> оо
наклон дисперсионных кривых совпадает с наклоном характеристик.
Определим с помощью критерия, основанного на оценке расположения
асимптот, вид неустойчивости в системе из двух взаимопроникающих,
двигающихся вдоль х электронных потоков. Их дисперсионные характеристики
представлены на рис. 7.8 для встречных потоков и на рис. 7.10в для
попутных. В первом случае угловые коэффициенты асимптот имеют
противоположные знаки и, следовательно, имеющаяся в этой системе
неустойчивость - абсолютная, во втором - конвективная.
7.4. Волны в потоках. Электронные потоки. Неустойчивость Гельмгольца
Пусть есть две взаимопроникающие заряженные жидкости (в частности, это
могут быть два электронных или ионных потока), взаимодействие которых
определяется общим продольным электрическим полем пространственного
заряда Епз. Подобно тому, как мы поступили при анализе ЛЕВ, будет считать
среды консервативными, пренебрегая силами трения (вязкостью). Потоки,
бесконечно широкие, движутся либо в одном по х направлении (попутные
пучки), либо навстречу друг другу (встречные пучки) с разными по модулю
постоянными скоростями |d0i| и |н02|.
Описанная теоретическая модель соответствует довольно хорошо
исследованной в СВЧ-электронике двухлучевой лампе [7, 8, 14]. В
