Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
применимости рассмотрения (kro С 1) имеем
"гр~3 кго^Щ-)1'2. (5.97)
Величина (квТе/тпе)<'1/2) имеет порядок тепловой скорости электронов,
поэтому групповая скорость волн в неподвижной "горячей" плазме, как это
видно из (5.97), много меньше тепловой. Таким образом, волна переносит
энергию через "горячую" плазму в отличие от предыдущего случая, где
групповая скорость просто равнялась дрейфовой.
а) б)
Рис. 5.11. К объяснению затухания Ландау: а - распределение электронов по
скоростям (заштрихованная область соответствует резонансным электронам
('Up ~ 1>ф)): б - модель движения резонансных электронов в поле
плазменной волны, если vv < Дф, по одного порядка: большая часть
элсктоонов группируется на ускоряющем склоне потенциального "горба"
плазмг эй волны
В рамках кинетической теории, справедливой для любых к. JI. Д. Ландау
заметил, что даже в пренебрежении силами трения колебания электронов
затухают ("затухание Ландау"). При кг о > 1 затухание столь велико, что
нет смысла рисовать диперсионную характеристику в области таких значений
к. Объяснение эффекта состоит в том, что, если скорость электронов меньше
фазовой скорости волны, но близка к ней, электроны забирают энергию у
волны и колебания затухают. Чем больше будет таких резонансных частиц,
тем больше будет затухание. Если функция распределения для плазмы
монотонно спадает со скоростью, то электронов, отстающих от волны
(отбирающих энер-
126
Глава 5
гию), будет больше, чем обгоняющих (отдающих энергию). Сказанное
иллюстрируется рис. 5.11.
Ионно-акустические волны (ионный звук). Будем исходить из уравнений
двухжидкостной гидродинамики, считая, как и прежде, что Те Т;, магнитные
поля отсутствуют, столкновениями можно пренебречь, и, кроме того,
пренебрежем инерцией электронов в уравнении (5.89), т.е. пренебрегаем
слагаемым d\e/dt + (veV)ve. Тогда в одномерном случае из уравнений
(5.87)-(5.91) получим следующую систему:
n _ 1 д , , Т ч е д<Р
dt тгдх' пете дхУПеКЪ-1е) + те дх,
^ - ",). ^ + ?("т) = о.
Пусть электроны имеют постоянную температуру, т. е. Те = const. Тогда из
второго уравнения в линейном приближении имеем, что (квТе/по)дп'е/дх =
едуэ/дх, где пе = по + п'е, и, следовательно, первое уравнение можно
переписать в виде ди[/дЬ = - [квТе/(тп(пе)]дп'е/дх. Из третьего уравнения
имеем п\ = п'е - [l/(47re)]92<p/9a;2, или, исполь-
зуя выражение для д<р/дх, находим, что п\ = п'е - \к^Те/(47ге2п0)1 f-
дх
Окончательно преобразованную систему уравнений можно записать так:
ду\ | кБТе дп'е п дп[
dt nomi дх 5 dt п° дх '
(5.98)
квте д2п'е
47ГПоб2 дх2
Сравнивая систему уравнений (4.39) для длинной линии, ячейка которой
представлена на рис. 4.17, с системой уравнений (5.98), легко установить
между ними прямое соответствие [15].
Для наглядности выпишем параметры и величины: для длинной линии
и, I, I',L, Си С,
1 =М0, А = Cl/с ~ (Да;)2;
VLC к2
5.6. Волны в плазме. Гидродинамическое описание
127
для плазмы
1 ш, m,n0
/Чд-пое2^1/2 I J - wp*>
n° ' 47re2 ' ВД' 1 _ къТе
4ппое2
Подчеркнем, что размер ячейки длинной линии (Да;) соответствует радиусу
Дебая для плазмы.
Рис. 5.12. Схема разрядной трубки (знаком <-)¦ отмечен подвижной
электрод: 1 - ртуть; 2 - катод; 3 - сетка; 4 - анод; 5 - зонд Ленгмюра
(а)) и рассчитанные теоретически (сплошные линии) и измеренные
экспериментально дисперсионные кривые для двух значений тока разряда
(кружки - 1Р = = 10 мА; треугольники -1Р =16 мА; штриховая линия -
расчетная прямая по уравнению из = изок/ко (б)) [15]
Полагая, что все возмущения распространяются в виде плоских волн вида
exp(iwt - ikx), из (5.98) находим дисперсионное уравне-
оо, мкс
а)
О 20 40 60
k, см
б)
ние из2 = u)2vik2!{к\ + к2) (ср. с (4.33)), или
.2 _ Ф2
>2 - 8
(1 + k2r2D)
(5.99)
где cs = л/квТе/гпг - скорость ионного звука. Если кто -С 1, то из = с8к.
С ростом к частота начинает расти медленнее, чем по линейному закону,
фазовая скорость волны начинает падать; нф -? 0
128
Глава 5
при к -> оо. Физически дисперсия ионного звука связана с тем, что
колебания ионов происходят при неподвижных в среднем электронах: давление
последних компенсирует действие электрического поля, не давая электронам
смещаться. Дисперсия имеет место в области высоких частот.
Приведем в качестве иллюстрации аналогии с длинной линией (см. гл. 4)
результаты эксперимента [15]. Разрядная трубка, использованная в
эксперименте, схематически представлена на рис. 5.12а. Между подвижными
сеткой и анодом возбуждались стоячие волны; с помощью зонда приводился
анализ возникших колебаний. Были обнаружены ионные звуковые волны с
частотой /кол 2 у/к^Те /rrii/L (L - характерный размер плазмы, например
длина трубки или расстояние между электродами). Результаты эксперимента
приведены на рис. 5.126.
До сих пор, говоря о плазме, мы имели в виду ионизованный газ. В
последние годы широко исследуется плазма твердого тела. В частности,
плазма полупроводников и металлов определяется как совокупность подвижных
