Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
считать, что этот поток заполняет все пространство, но движение его
одномерно, т. е. в направлениях, перпендикулярных направлению движения,
ничего не меняется (в СВЧ-электронике эта модель называется моделью
бесконечно широкого пучка). Тогда для описания такой заряженной жидкости
(столкновением частиц, т. е. вязкостью, пренебрегаем) достаточно
уравнения Эйлера для скорости
и обобщенного уравнения Пуассона, связывающего градиент электрического
поля объемного заряда с плотностью объемного заряда электронной жидкости:
Электронный поток предполагается ионно-скомпенсированным, т.е. в целом
среда из заряженных частиц электрически нейтральна.
Так как нас интересует вопрос об устойчивости, то достаточно рассмотреть
линеаризованные уравнения, полагая v = vq + v', р = ро + р', и плотность
тока pv = j0 + j' (jo = PoVo), где v0, po, jo - постоянные составляющие
соответствующих величин, a v', р'. j' - малые возмущения этих величин
(любое возмущение много меньше соответствующей постоянной величины).
Линеаризованные уравнения (7.18)-(7.20) имеют вид
(7.18)
уравнения непрерывности
(7.19)
(7.20)
7.2. Примеры неустойчивостей
157
ИЛИ, поскольку j' = Voр' + PoV1,
df , di' _ " dv' ,7
dt 0 Эх Ро 8t ' ^ ^
f)jpf
-gf = ^ (723)
Полагая, что все переменные величины изменяются во времени по закону
ехр(гоЛ), и вводя оператор !? = iu> + vod/dx, перепишем
(7.21)-(7.23) следующим образом:
^' = ШЕ+ШЕпз> %j' = iupov', E'n3 = -^j'. (7.24)
При выводе (7.24) использованы уравнения (7.23) и уравнение непрерывности
в виде dj'/дх = -iu>p.
Исключая в системе уравнений (7.24) v' и Е'пз, получаем
&з' + ф' =(^)Е. (7.25)
Простейший способ перехода от бесконечного широкого электронного потока к
пучку с конечным поперечным геометрическим сечением S состоит во введении
вместо плазменной частоты шр = ^/Аттрое/т редуцированной плазменной
частоты u>q - Rcop, где R - коэффициент редукции (0 < R ^ 1), который
учитывает влияние на пучок окружающих стенок [6].
Тогда для тока i' - j'S, сгруппированного в пучке под действием поля
волноведущей системы, из (7.25) имеем
d2i' , 9 • ш di' ( ш2 \ ¦/ _ • ui /о р (7
9? + !'S5_ U Г -'^WoE' (7'26)
где /0 = PoVqS - постоянный ток пучка, Vo = уч^ш/2е - ускоряющее
напряжение пучка. Условие совместности самосогласованной системы
уравнений (7.17) и (7.26) в предположении, что г' и Е изменяются в
пространстве, как ехр(-гкх), где к - волновое число, приводит к
дисперсионному уравнению
(ш - kvф)(щ - kv0 - uiq)(ui - kv0 + wq) = uj3C3, (7.27)
С3 = (I0K/4Vo)(v0/v$)2, С - известный в теории ЛБВ параметр усиления [7].
Нетрудно видеть из уравнения (7.27), что во взаимодействии
158
Глава 7
участвуют одна волна волноведущей системы к = ui/vф и две волны
пучка - быстрая волна пространственного заряда (к = (о> - u!q)/v0)
и медленная волна пространственного заряда (к = (и> + u>q)/v0).
Необходимым условием усиления в пространстве является комплексность
волнового числа при действительной частоте oi, причем поскольку Е ~ ехр(-
ikx) для волн, бегущих вправо, то неустойчивость в пространстве будет
лишь тогда, когда Im к > 0.
На рис. 7.4 решение уравнения (7.27) при uig = 0 показано в виде
зависимостей а = 1тк/(кеС) и /3 - (ke-Rek)/(keC) (,ке = и;/уо) от
параметра рассинхрониз-ма Ъ = (к0 - ке)(кеС) (к0 = oi/vф) между пучком и
"холодной" волной. Предполагается, что влиянием затухания и сил
пространственного заряда на взаимодействие можно пренебречь. Легко
видеть, что при b = 0 (г>о = Уф) достигается максимальное значение
инкремента (Imfc)max = - (уД/2)кеС и что область неустойчивости
ограничена значением Ъ = 3%/2/2 и 1,89.
Во второй половине 50-х годов разразилась дискуссия, начатая Пид-
дингтоном в работе [9], в которой отвергалась существовавшая тогда теория
ЛБВ и двухлучевой лампы (о ней речь в этой главе пойдет дальше). Он
считал, что пространственное нарастание волны предсказано теорией неверно
и что ошибка состоит в неправильном толковании дисперсионного уравнения.
Пиддингтон показал, что иногда экспоненциально затухающие вдоль оси х
волны можно по ошибке принять за усиливаемые, но и сам ошибся в
окончательном выводе, решив, что случай комплексных к при действительных
oi всегда соответствует не-пропусканию.
Остановимся еще на одном примере - ЛОВ. В ЛОВ электронный пучок движется
через искусственную среду, в которой могут распространяться волны с
продольным электрическим полем; дисперсия этой среды такова, что фазовая
скорость волны на некоторой частоте П равна скорости электронов, а
групповая скорость отрицательна, т.е.
уф(П) = у0, vrр(П) < 0. (7.28)
В реальных приборах искусственной средой с нужными свойствами
Рис. 7.4. Зависимость а и /3 от параметра рассинхрониз-ма b между пучком
и "холодной" волной; а\ соответствует волне, растущей с расстоянием [8]
7.2. Примеры неустойчивостей
159
служит периодическая электродинамическая структура - замедляющая система.
Благодаря условиям (7.28) при взаимодействии потока электронов с волной в
