Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
818
Л. С. ПОЛАК
жем: механические проблемы суть класс математических задач, разработка:
механики есть разработка математических методов*).
К тому времени, когда Гамильтон перешел от проблем геометрической оптики
к изучению проблем динамики, принцип наименьшего действия имел,, как мы
видели, уже почти девяностолетнюю историю.
Исторически первой работой Гамильтона в области динамики является
неопубликованная при его жизни рукопись, помеченная 1833 г. и
озаглавленная "Проблема трех тел, рассмотренная с помощью моей
характеристической функции"**). В этой рукописи рассматривается проблема
трех тел: Солнца, Юпитера и Сатурна, и вводится сначала
характеристическая функция
V=f Tdt.
о
Гамильтон показывает, что эта функция должна удовлетворять двум
уравнениям в частных производных первого порядка. Он сравнивает найденное
им решение с решением Лапласа, определяет характеристическую
функцию для эллиптического движения, устанавливает уравнение = t,
где Н - полная энергия системы ("константа живых сил", по его
терминологии). Далее он доказывает, что два уравнения в частных
производных, которым удовлетворяет функция V, действительно дают общее
решение, и ищет это решение с помощью последовательных приближений.
Уже в этой работе даны многие существенные результаты, которые вошли в
более поздние статьи Гамильтона, опубликованные им в 1834- 1835 гг.
В этих статьях развивается оригинальная идея Гамильтона : рассматривать
входящий в принцип действия интеграл после его вычисления как функцию от
его пределов.
В них. формула для главной функции Гамильтона V дана для случая системы
точек, но для простоты мы рассмотрим случай движения одной точки. В этом
случае уравнения движения будет :
= 0 - Ь 2,3), (21)
причем кинетическая энергия
T=±m2$, (22)
л i
а силовая функция U = U(xi) будет функцией только координат. Начальные
значения координат обозначим xoi, а скорости xoi. Запишем закон живых сил
в форме
T = U + Н.
Величина Я, которая получила название гамильтониана системы, независима
от времени для данного движения системы ; но поскольку при переходе к
другому движению изменяются начальные данные, постольку Н изменяется с
изменением Т и TJ и, следовательно,
дТ = 8U + дН.
*) В аналитический метод Лагранжа вполне можно ввести геометрические
аналогии и представления. Это можно сделать, ибо свойства уравнений
Лагранжа тесно связаны со свойствами некоторой квадратичной формы точно
такого же вида, какой имеет в геометрии форма, выражающая дугу кривой.
**) W. R. Hamilton, Dynamics, Cambridge University Press, The Math. Pap.
т. 2, 1940, стр. 1-103.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
Умножая на dt и интегрируя от нуля до t и приняв во внимание закон живых
сил и хорошо известное уравнение
2 mii <5х, = 8U,
Надо заметить, что координаты х, и скорости х,- являются функциями t, xoh
xoh а следовательно, У есть также функция этих величин. Но если х, есть
функция t, х0,-, х0" то можно, напротив, рассматривать х0, как функцию t,
х,, xoi и, таким образом, V будет функцией х,, х0,, /. Подобным же
образом Н есть функция хь xoi, t; исключив t, найдем V как функцию х"
x0l, Н. Тогда из (24) получим:
и если рассматривать У как известную функцию х, у, z, х0, у0, z^, Н, то
исключение Н дает возможность получить уравнения, которые будут на самом
деле интегральными уравнениями проблемы.
Функция У удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных
производных:
которые, если они могут быть проинтегрированы, дадут У как функцию х" х0"
Н ; тем самым движение системы будет определено.
Гамильтон говорил : "если функция У известна, то остается только
исключить Н из 3п + 1 уравнений (25а), (25с) для того, чтобы получить все
Зп первых интегралов, или из (25Ь) и (25с) для получения всех 3п конечных
интегралов дифференциальных уравнений движения; в конечном счете это
сводится к получению Зп искомых соотношений между Зп переменными
координатами и временем, включающих, следовательно, массы и дп
вышеупомянутых начальных данных; открытие этих соотношений явится общим
решением общей проблемы динамики"*).
*) W. R. Hamilton, On a general Method in Dynamics, Phil. Trans, ч. 1,
1834y стр. 251-252.
Гамильтон получает:
j 2'm dxt dxj = J Z m dxt <5x, + J 8H dt.
0
0
0
Обозначив
У = j 2mx,dx, = S2Tdt,
(23)
0
0
он получает по правилам вариационного исчисления
<5 У = Z mxj dxi - 2' tnxoi 8x0j + t8H.
(24)
ev
(25a)
(25b)
(25c)
(26>
820
Л. С. ПОЛАК
Таким образом, "уравнение (24), выражающее фундаментальный закон вариации
У, мы назовем уравнением характеристической функции или законом
переменного действия"*).
Гамильтон обнаружил, что "в динамике эта функция У включает в себя в виде
вспомогательной величины константу Я в известном выражении половины живой
силы системы"**).
Это привело его к мысли ввести новую функцию S, которая была бы связана с
У и из которой была бы исключена упомянутая константа. В итоге
"исключения, посредством которых (Гамильтон. -Л. П.). .. был вынужден
