Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
В общем случае элемент криволинейного пути
ds = У2' (dXi)2 ,
i
а
v = v (х,, а,. = ^ , х] ¦ 8Ь)
Вариация v равна :
^ = 2-^^i + 2-^^i + ^6x, (9>
и так как а?= 1, т0 производные определятся ^гак, чтобы удовлетворялось
условие '
СО)
т. е. v - однородная функция первого порядка относительно щ.
*) W. R. Hamilton, Supplement to the Theory of Systems of Rays, Math.
Pap., т. 1, стр. 107.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
813
Фундаментальная задача математической оптики состоит в определении
зависимости a, aoi от хи xoh %. Эта задача решается с помощью основного
уравнения, которое Гамильтон называет законом переменного действия:
^ = (11)
Вариация 6У стационарна при распространении света. Это уравнение
распадается на шесть уравнений, которые дают искомую зависимость:
oV ¦ (/=1,2,3). (12)
9 х/ 9а,- ox0i da0i Л v '
Основная идея Гамильтона состоит в том, что он рассматривает У = j vds
как функцию граничных точек. Другими словами, после того как значение У
вычислено интегрированием выражения б У = 0 при постоянных пределах, он
рассматривает У как функцию этих пределов. Функцию У он называет
характеристической функцией, а в физике называют ^ У = c(t -10)
оптическим путем, который является основным понятием в геометрической
оптике.
Как кажется с первого взгляда, уравнения (12) требуют для приложения к
некоторой системе сред знания формы функции У и вида функций v и v0 (т.
е. оптических свойств конечной и начальных сред). Однако, как указывает
Гамильтон, сами эти функции среды vuv0 могут быть'выведены из
характеристической функции У. Гамильтон показывает, что если У есть
однородная функция а для У имеем два уравнения в частных производных
Q
(13)
то, обозначив получим :
(l?' *"*) =0 Q' idx^,Xoi' Х) = °'
эк ЭК
и Эх0,- ~ °oi '
сц _ дО_ __ ЭQ д.
v ~ dot ' v0 ~ do0i ' '
откуда, после простых преобразований, найдем :
dxt ЭQ dot ЬО . г.
~dV~. ~doi ' ItV ~ ~~ "9x7 ' '
Родство формы уравнений (13) с уравнениями динамики очевидно: У
соответствует интегралу действия Эйлера - Лагранжа, уравнение (13) -
уравнению живых сил, % - некоторой функции полной энергии.
Уравнения (15) имеют форму канонических уравнений динамики и выражают
распространение поверхности У = const как касательное преобразование
вдоль луча.
Следовательно, развивая метод характеристической функции, мы вновь
получили уравнения, имеющие форму уравнений динамики, с той лишь
разницей, что раньше были получены уравнения, имеющие форму уравнений
Лагранжа, теперь же - канонические уравнения, введенные в динамику
Гамильтоном.
С математической точки зрения, переход от системы переменных х, У, z, а,
/?, у к системе х', у', z', а', /?', у', или переход от одной поверхности
к другой, можно рассматривать как преобразование.
Функция У определяет, следовательно, такое преобразование пространства,
которое переводит одну произвольную поверхность в другую. Если две
первоначальные поверхности касаются в какой-либо точке, то полученные из
них преобразованием две поверхности также будут касаться в некоторой
точке, сопоставленной первой точке. Поэтому Софус Ли и назвал это
преобразование касательным*).
Что же касается практического значения "принципа переменного действия",
то Ф. Клейн справедливо указывает, что он "служит не для того, чтобы дать
ответ на вопрос о собственных целях, которые преследует природа в
оптических процессах, но для того, чтобы ответить на вполне законный
вопрос конструктора оптических приборов, как нужно искусственно сочетать
эти процессы для получения возможно более совершенного прибора"**).
Раздел 26-й третьего добавления к "Теории системы лучей" Гамильтон
посвятил "увязке предшествовавшего взгляда на оптику с волновой (undu-
latory) теорией света". Как указывает заголовок этого отдела "величины
dv dv dv
а, т, v или т- е. частные производные первого порядка харак-
теристической функции У, взятые по конечным координатам, представляют
собой в волновой теории света компоненты нормальной медленности (normal:
slowne s) распространения волн. Фундаментальная формула (11) может быть
легко объяснена и доказана согласно принципам этой теории"***).
Цель этого раздела состоит в. том, чтобы показать правомерность найденных
результатов в волновой теории. Все прежние рассуждения базировались на
принципе наименьшего действия и развивались в терминах эмиссионной
гипотезы. Гамильтон хочет показать, что все аналитические результаты
могут быть сохранены. Заметим, что в своем нобелевском докладе Шредин-
гер****) дает следующую характеристику принципа Ферма: "Таким образом,
принцип Ферма представляется просто тривиальной квинтэссенцией (курсив
Шредингера. - Л. П.) волновой теории". В волновой теории этот принцип
находит свое обоснование: "только с точки зрения волновой теории принцип
Ферма становится вполне понятным и перестает быть чудом"*****).
С точки зрения волновой теории, У будет временем распространения света
данного цвета от источника х', у', ? до точки х, у, z через некоторую
