Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
классической системы и для системы квантово-механической, то тут имеется
налицо следующее важное обстоятельство. "Одной и той же классической
функции Гамильтона может соответствовать, вообще говоря, несколько
функций Гамильтона в квантовой механике ; поэтому, если дается
определенная механическая система в классической механике, то, вообще
говоря, нет никакого смысла говорить о такой же самой системе в квантовой
теории. Однако существуют и исключения из этого общего правила ; и на
практике во многих случаях в квантовой механике оказывается возможным
однозначно описывать механические системы языком классической теории"**).
Мы видим здесь отражение того общего факта, что хотя микромир имеет свои
собственные специфические закономерности, представляя собой качественно
своеобразную форму, но его специфичность не абсолютна. Микромир внутренне
связан с макромиром. В известных пределах мы можем непосредственно
пользоваться для изучения явлений микромира понятиями и соотношениями,
полученными как обобщение макроскопического человеческого опыта.
Гейзенберг указывает, что в квантовой механике "математическая схема в
конце концов внешне похожа на классическую теорию и отличается от
последней только наличием перестановочных соотношений, при помощи
которых, впрочем, уравнения движения могут быть выведены из функции
Гамильтона"***).
Надо заметить, что в математике уравнения того же вида, что и (32),
определяют касательное преобразование. В силу этого "весь процесс
движения можно рассматривать как постепенное развертывание контактного
преобразования"****).
Функция Гамильтона Н зависит от q, и р,:
Н = 2 q, Pt - L (qt, q,, t) = 2 kt -щ - ~ L , (33)
где L - функция Лагранжа (в частном случае разность кинетической и
потенциальной энергии). Она введена для случая, когда Н = H(t),
Гамильтоном и обобщена в форме (33) М. В. Остроградским.
Таково богатое математическое содержание развитого Гамильтоном общего
метода рассмотрения проблем механики.
В 1837 г. Якоби рассмотрел общее понятие канонических переменных.
*) П. Дирак, Основы квантовой механики, Гостехиздат, 1932, стр. 112.
**) Там же.
***) В. Гейзенберг, Э. Шредингер, П. Дирак, Современная квантовая
механика, Гостехиздат, 1934, стр. 21.
****) Э. Т. Уиттекер, Аналитическая динамика, Перев. Малкина, ГОНТИ, М.-
Л., 1937, стр. 335-336.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
823
Он исследовал вопрос о том, каковы самые общие канонические подстановки,
т. е. подстановки
Pi = 9i (Чоi ' Род . 4i = Vt (4ot. Род"
которые переводят канонические уравнения снова в канонические. Эта
проблема с групповой точки зрения была совершенно иначе разработана
Софусом Ли в так называемой теории касательных преобразований.
Якоби дал первое решение поставленной задачи, показав, что величины qh pj
всегда связаны с qoi, р0, каноническим преобразованием, если можно
положить :
Э Q ЭQ /0..
-Э^=-Ро- Л*? = <34>
где Q - произвольная дифференцируемая функция qoi, qt.
Эти формулы
имеют тот же вид, что и формулы для гамильтоновых функций
V и S. Оче-
видно, что именно формулы Гамильтона привели Якоби к его исследованиям.
Этот метод можно обобщить на все подобного рода канонические
преобразования. Оказалось, что предпочтительнее не определять qh р, явно,
а установить те дифференциальные уравнения, которым они должны
удовлетворять. Следуя Пуассону, Шеринг и Ли в 1873 г. ввели символические
скобки. Определим
от
тогда условия того, что функции р, определяют каноническую систему
.преобразований, будут иметь вид:
[р''рЛ-°' [-7,, РД =!' при (36)
Hi. <7/1 = 0. Fl' 10 при if/.
Отсюда легко получается теорема Лиувилля о том, что функциональный
определитель канонического преобразования равен +1 или -1.
Как же Гамильтон определяет место своего принципа и связанного с ним
метода в системе физических наук? Ведь он недвусмысленно отказался
признать космологическое значение принципа наименьшего действия. В самом
деле, Гамильтон пишет:
"Хотя закон наименьшего действия стал, таким образом, в ряд высочайших
теорем физики, все же его притязания на космологическую необходимость, на
основе экономии во Вселенной, в настоящее время обычно отвергаются. Среди
других причин это вытекает и из того, что величина, которая претендует на
то, чтобы быть сэкономленной, в действительности часто расточительно
расходуется"*).
Гамильтон видит в нем средство "преобразовать в широком смысле слова всю
динамику"**) и считает, что сфера его применения значительно шире, чем
только оптика и динамика. Эта широкая программа им самим осуществляется
только частично, его задача - набросать основной план, развитие которого
- дело будущего. Речь идет о новом построении физики, как он сам говорит
в одном письме :
"Что касается заглавия - "О новом методе в динамике", - признаюсь, что
при точном истолковании оно означает : исключение оптики из моей
*) W. R. Hamilton, On a general Method of Expressing the Paths of Light
and of the Planets by the Coefficients of a Characteristic Function,
