Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
того, чтобы задать независимую переменную, которая иначе была бы
произвольной в формулировке динамической системы с однородными
скоростями. Таким образом, мы можем, не нарушая общности, рассматривать
только теории с однородными скоростями. В дальнейшем мы будем
рассматривать только такие системы, так как они ведут к более простым
уравнениям, причем точка будет означать дифференцирование по произвольной
независимой переменной т.
6. Условие совместности
Чтобы удовлетворить условию совместности, уравнения движения должны
обращать все Фт в нуль. Таким образом, подставляя Фт' в (21), получим
"m№n,<M = 0. (22)
Предположим, что уравнения (22) максимально упрощены с помощью системы
уравнений (4). Приведение может содержать в себе также исклю-
*) P. Dirac, Homogeneous variables in classical dynamics, Proc. Camb.
Phil. Soc., т. 29 (1933), 389.
ОБОБЩЕННАЯ ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА
711
чение множителей, когда они считаются отличными от нуля. Результирующие
уравнения могут принадлежать к одному из четырех тмпов.
Тип 1. Уравнение содержит переменные v.'
Тип 2. Уравнение не зависит от v, но включает переменные р и q.
Оно имеет, таким образом, вид
X (Р. ?) = 0 (23)
н не зависит от уравнений (4).
Тип 3. Уравнение приводится к равенству 0 = 0.
Тип 4. Уравнение приводится к выражению 1 = 0.
Уравнения типа 2 ведут к еще одному типу условия совместности, так как х
должны оставаться равными нулкь Подставляя % в (21), имеем
"т[Фт, Х] = 0. (24)
Уравнения, приведенные с помощью соотношений (4) и уже полученных
равенств (23), также принадлежат к одному из перечисленных типов. Если
это тип 2, то мы приходим к новому условию совместности. Мы повторяем эту
операцию для каждого соотношения (2), пока не приходим к уравнению нового
типа. Если мы получим таким образом уравнения типа 4, то уравнения
движения не совместны. Этот случай, как не представляющий интереса, мы
исключаем. Уравнения типа 3 удовлетворяются автоматически. Остаются лишь
уравнения типа 1 и 2. Обратимся к полной системе уравнений типа 2:
Хк(Р,Я) = 0 (к = 1,2,..., к). (25)
Предположим, что функции %к выбраны подобно Фк в (4) так, что их
вариации- порядка е. В этом случае равенства (25) можно считать слабыми.
Эти новые слабые уравнения сводят область R, в которой удовлетворяются
все слабые уравнения, к (2У - /^-измерениям. Область Rs также будет
редуцирована, так как она теперь будет состоять из точек, находящихся в
е-окре-стности новой области R.
Для изучения уравнений типа 1 удобно ввести новые понятия. Мы будем
говорить, что величина Фт принадлежит к первому классу, если ее скобка
Пуассона для каждой пары Ф и % равна нулю. Таким образом, Фт- принадлежит
к первому классу, если
[Фт'Фт]= 0, [Фт-,хк}= 0. (26)
Эти равенства должны выполняться только в слабом смысле, иначе говоря,
они выполняются только лишь как следствие равенств Фт = О и Хк = 0.
Таким образом, левые части (26) должны быть равны в сильном смысле
некоторым линейным функциям от Фт и %к; Ф, не удовлетворяющие этим
условиям, мы назовем Ф второго класса. Произведем линейное преобразование
вида
Ф*т = Утт'Фт', (27)
где у - любое функции q и р, такие, что детерминант утп не обращается в
нуль в слабом смысле. Тогда в рамках нашей теории можно считать, что Ф*
эквивалентны Ф. Произведем преобразование этого рода таким образом, чтобы
перевести максимально возможное число Ф в первый класс. Ф первого класса
обозначим через Фа, а Ф второго класса - через Фр, причем
/?= 1,2, ... , В; а = В+\, В+ 2, ..., М.
712
П. ДИРАК
Если Фт', принадлежит к первому классу, то уравнение (22) автоматически
удовлетворяется. В дальнейшем в уравнениях (22) и (24).ограничимся Фт,
принадлежащими ко второму классу. Таким образом, оставшиеся уравнения
(22) и (24) запишутся в виде
[Фр,Фр,} = 0, = 1,2, ..., В,
[фе,Хн\ =0, к =1,2,..., к.
(28)
Все они принадлежат к типу 1. Из уравнений видно, что либо все vp равны
нулю, либо матрица
(29)
0 [0i,02] [01,0з] • • [0i, 0/з] [01, Хг] • • [01, Хк]
[Ф2, ФЛ 0 [02, 0з] • • [02, 0(3] [02, Хг] • • [02, Хк]
[фв,фЛ \фв, 02] [0В, 0"] . .. 0 [фв,Хi] • • [фв,Хк]
имеет ранг меньше В в слабом смысле [235].
Докажем теперь, что правильна первая альтернатива. Считаем, что матрица
(29) имеет ранг U < В. Образуем детерминант
(30)
01 0 [01,02] [0i, 0J • • [01, фи]
D ~ 02 [02, 01 ] 0 [02,08] • • [02, фи]
фи+1 \фи+1, ФЛ [0(7+1, 02] [0(7+1 , 0,] • ¦¦[фи+1, фи]
D - линейная функция от Фр и, следовательно, обращается в нуль в слабом
смысле. С. П. для D с произвольной величиной / равна сумме детерминантов,
каждый из которых задан С. П. одного из столбцов (30) с /.
Все эти детерминанты, кроме первого, соответствующего первому столбцу,
равны нулю в слабом смысле, так как элементы их первых столбцов равны
нулю в слабом смысле. Таким образом ;
[01, Я 0 [01,0*] [01,0з] • • [01, фи]
[А/] = [02,/] [02, 0i] 0 [02,0.] • • [02, Фи\ .
(31)
[0(7 + 1, /] [0(7 + 1, 0l] [0(7+1, 0г] [0(7+1, 0,] • ¦ ¦
[0(7+1, 0(7],
