Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 330

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 324 325 326 327 328 329 < 330 > 331 332 333 334 335 336 .. 461 >> Следующая

совместности будут изучены ниже.
С помощью (11) уравнения движения (12) принимают вид
v ПЗ)
Рп dqn т dqn • ^ '
Уравнения (13) вместе с уравнениями (10) образуют систему
динамических
уравнений Гамильтона. Уравнения заданы функцией § и
соотношениями
Фт =0. Гамильтоновы уравнения движения задают q и р в терминах
гамильтоновых переменных q, р, v. Уравнения не содержат какой-либо
непосредственной информации о й, но, изучая условия совместности, из них
можно извлечь косвенную информацию о ъ.
Уравнения Гамильтона легче записать с помощью скобки Пуассона (С. П.).
Каждым двум функциям f и "?, зависящим от q и р, ставится в соответствие
скобка Пуассона:
(14)
L*"*'] - dqn дPn dРп dqn К '
Легко проверить, что скобка Пуассона инвариантна относительно
преобразований к новым q и р, при которых новые q являются независимыми
функциями от исходных, причем новые р задаются соотношением (2), включа-
ОБОБЩЕННАЯ ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА
709
ющим L, выраженным в новых q и их производных по времени. Это свойство
скобки Пуассона делает ее важным понятием. Скобка Пуассона удовлетворяет
следующим соотношениям :
[?, г]] = - [г], ?],
[?, / (41, %,••¦)]= -щ; + ж[f 'щ]
[f [4,f]] + [4, [f,f]] + [f, [f,4]]=0.
(15)
Во втором равенстве / - произвольная функция переменных величин r)v
щг,..., каждая из которых зависит от qn р. Последнее равенство, известное
как равенство Пуассона [ 234], применимо к любым трем функциям ?, г), С
от q и р.
Желательно распространить С. П. на случай функций, зависящих также от q,
которые не выражаются через q и р. Предполагаем, что такие обобщенные С.
П. подчиняются соотношениям (15), но в остальном произвольны. С другой
стороны, мы можем предположить, что q - произвольные функции от q и р, и
вывести равенства (15) для |, щ и С, содержащих q.
Из сильного уравнения А = 0 вытекают слабые уравнения
= о = о -- - О
Щп U ' 9qn и ' 9рп~
Отсюда, пользуясь вторым из соотношений (15), имеем
[?, А] = О
для произвольного I.
В некоторых случаях мы имеем [f, А ] = 0 (например, в случае, когда, по
определению, А = 0), но, вообще говоря, это не имеет места. Из слабого
уравнения X = 0 равенство [?, X ] = 0 не вытекает. Если g - некоторая
функция от q и р, то получаем из уравнений (10) и (13):
* - (-?+ж) - -? (-& * '-ж-) - '*¦ "+^ • <16>
Равенство (16) является общим уравнением движения Гамильтона. Оно может
быть также записано с помощью уравнений (4) в виде
g = [g (c)] + vm [g, &m] + [g, Vm] Фт = [g, H] , (1 7)
причем оно принимает тот же вид, что и обычное уравнение Гамильтона,
записанное с помощью скобки Пуассона.
5. Однородные скорости
Теория принимает особенно простой вид в случае, если L является
однородной функцией первой степени относительно скоростей. Тогда
импульсы, заданные соотношением (2), - однородные функции нулевой степени
относительно q и, таким образом, зависят только от отношений q.
Так как мы имеем N значений р и только N - 1 отношений q, то должно быть
по крайней мере одно соотношение (4), связывающее q и р. Случай, когда
имеется только одно соотношение между q и р, можно рассматривать как
обычный. Из теоремы Эйлера следует
710
П. ДИРАК
Отсюда
L ' Яп Рп >
так что
Н - 0. (19)
Это слабое уравнение, выполняющееся в области R, позволяет считать § = 0.
Тогда из (9) следует
Н = утФт. (20)
Общее уравнение движения примет теперь вид
g = ^m[g, ^т]- (21)
Таким образом, в этом случае уравнения движения Гамильтона задаются
равенством Фт - 0. Правая часть уравнения (21) однородна
относительно v.
Решение уравнений движения определяется о точностью до множителя
у,
являющегося произвольной функцией времени.
Новое решение уравнения движения, содержащее скорость изменения
динамических переменных с изменением времени, также умножается на у.
Новое решение можно получить из исходного решения, заменив t новой
независимой переменной т так, чтобы dt/dr = у. Новая независимая
переменная совершенно произвольна: она может быть любой функцией t, q и
д. Таким образом, из любого решения уравнения движения можно получить
другое решение, заменяя t произвольным т, причем уравнения движения не
дают никакой информации о независимом переменном. Эта важная черта
динамической теории с лагранжианом L, однородным относительно скоростей,
делает ее особенно удобной для релятивистского описания. Лагранжиан любой
динамической системы можно сделать однородным первого порядка
относительно всех скоростей, приняв t за добавочную координату q0 и
пользуясь равенством = 1. Отсюда может быть выведено новое уравнение
Лагранжа для всех q, как было показано автором *): Этим путем новую
формулировку для общей динамической системы можно получить в терминах
однородных скоростей.
Новая формулировка задает те же уравнения, что и старая, кроме q0 - 1.
Чтобы получить и это уравнение, приходится считать его добавочным
условием, не следующим из уравнений движения, но совместным с ними.
Однако мы можем прекрасно обойтись без него, так как оно нужно лишь для
Предыдущая << 1 .. 324 325 326 327 328 329 < 330 > 331 332 333 334 335 336 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed