Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
число эффективных степеней свободы. Все в обращаются в нуль в слабом
смысле; Если мы работаем только с новой С. П., то можно считать, что
каждое из в равно нулю в сильном смысле, не впадая в противоречие, так
как на основании (37) С. П. от в и любой величины равна нулю.
Тогда, пользуясь уравнением 6S = 0, мы можем упростить гамильтониан.
Будем говорить, что х относится к первому классу, если С. П. от всех Ф и
% равны нулю, в противоположном же случае отнесем ее ко второму классу.
Произведем линейное преобразование
/к = Укк- Хк + Укт Фт , (39)
где у и у' - любые функции от q, р, такие, что | утп | 0. Тогда новые %
•эквивалентны старым в рамках нашей теории. С помощью этого
преобразования переведем максимальное число % в первый класс, причем %
первого класса обозначим %а, а второго хп- Примем за в все и Фр. Тогда А
не обращается в нуль. Доказательство совершенно эквивалентно приведенному
выше доказательству теоремы о ранге матрицы (29). Предполагая, что ранг А
- Т < s и конструируя детерминант вида
| в, 0 [01( 02] ... [01; вт] |
j....................................j, (40)
! (r)т+1 • • • ............[(r)r+i > (r)г] !
принадлежащий к Ф или х первого класса и линейный относительно Фр и Хр,
приходим к противоречию с предположением, что никакие Ф и ^ не могут уже
быть преобразованы в первый класс. Выбирая таким образом в, мы
ОБОБЩЕННАЯ ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА
715
получаем максимальное упрощение этого метода. Мы получаем новую схему, в
которой все Фр- и ^-уравнения сильные. Эти уравнения можно использовать
для исключения всех q и р из теории. Новая схема не однозначна, так как
Фр и хр не единственно возможные.
Заменяя Фр и %р их линейной комбинацией, мы не изменили окончательной
формы гамильтоновой схемы. Однако, добавляя к Фр и %р произвольные
функции от Фа и от Фа и ха соответственно, что не меняет ни Л, ни c!S>,
но, вообще говоря, меняет [?, rj ]*, мы увидим, что гамильтонова схема не
сохраняется при таком преобразовании. Различные формы схемы, разумеется,
эквивалентны, так как они приводят к одинаковым уравнениям движения.
В качестве приложения изложенного метода рассмотрим случай лагранжиана,
не содержащего некоторых скоростей. Предположим, что L не содержит qj
(/=1,2,..., J < N). Тогда каждое Pj равно нулю в слабом смысле и Ф - в
сильном смысле. Предположим, что никакая линейная форма от pj не
принадлежит к первому классу. Тогда можно рассматривать pj как Фр.
Будем теперь считать половину общего числа величин в - pjt а другую
половину Ф или х второго класса, выбранными таким образом, чтобы Л не
обращался в нуль. Назовем эти последние- 6j. Выбирая таким образом 0,
легко видеть, что новая С. П. может быть получена из определения (14),
примененного только к тем степеням свободы, для которых q не является q]:
причем каждое pj считается сильно равным нулю, а каждое qj сильно равным
функции от других q и р, заданной уравнениями dj = О.
Таким образом, мы получили новую гамильтонову схему (не обязательно с
максимальным упрощением, так как могут быть и другие Фр и Хр, не входящие
в число в), в которой q} и pj не являются независимыми динамическими
переменными.
Можно прийти к новой схеме более прямым путем, если с самого начала не
считать координатами и не вводить сопряженных импульсов. Посмотрим, какие
изменения это внесет в теорию.
Определим п таким образом, чтобы оно принимало значения, при которых q не
принадлежит к qjt т. е. значения J + 1, J + 2, . . ., N. Тогда (2) и (5)
по-прежнему удовлетворяются, а (6) может быть заменено выражением
w = -(f^) Ч,-. <4|>
Уравнения
будем считать дополнительными условиями в данном методе. Выражение (41)
сводится к (6). Отсюда можно заключить, что Н имеет форму (20), где Фт -
функции от qn и рп, независимые от qs и равные нулю при учете уравнений
(2). В остальном теория развивается, как раньше в терминах Ф и х, не
включающих qs. Уравнения Ф их, включающие qJt можно рассматривать как
уравнения, выражающие q} через другие переменные и поэтому не играющие
никакой роли. В этой теории мы имеем лагранжиан L, содержащий qj,
включающие импульсы. Появление импульсов в лагранжиане совершенно
.аналогично появлению скоростей va в гамильтониане.
9. Гамильтониан как исходный пункт
Вместо того, чтобы исходить из лагранжиана и получать из него
гамильтониан, можно исходить из гамильтониана. Вводятся динамические
переменные qn и рп (п = 1,2,..., 2V) или, может быть, другие динамические
переменные, между которыми существуют соотношения (15).
716
Д А
Переменные связаны известными слабыми равенствами типа Ф-урав-нений. С
точки зрения этого метода не имеет смысла делать различие между Ф и %. По
крайней мере одна из Ф должна принадлежать к первому классу, т. е. либо
С. П. этой Ф со всеми другими равна нулю, либо не выполняются условия
совместности. Будем считать Н линейной функцией от Ф первого класса с
новыми переменными va в качестве коэффициентов и примем гамильтоновы
уравнения движения (17) или (33). v зависят произвольно от независимого
