Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 327

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 321 322 323 324 325 326 < 327 > 328 329 330 331 332 333 .. 461 >> Следующая

"квантование трансляционного движения". Это обстоятельство было недавно
мною рассмотрено в общих чертах, причем также было показано, что подобное
квантование приводит к теории газов Эйнштейна *). .
Зависящий от координат относительного движения частиц х, у, z множитель /
из волновой функции у определяется теперь уравнением
7 Mf ¦+ -W + -Ш + 1"' ~t' <г - ''•Я1 = 0' (43)
где для сокращения положено
а, = 8_ (39,}
Введем теперь вместо координат х, у, г полярные координаты г, #, у (что
*) См. Phys. Zs. 27, стр. 95 (1926).
702
Э. ШРЕДИНГЕР
согласуется с использованным ранее значением г). После умножения на /г
получаем
L ±U _Ю + _L (sin 0-°- fsin &-Щ + -
1______________________________________________Щ +
г2 дг I. Эг J г2 ( 9# ( 9# J sin2# д<р2)
+ [fia1 -fib'(r-r0)*]f = 0. (43')
Представим функцию / также в виде произведения функций. Множитель,
зависящий от полярных углов, §удет представлять собой сферическую функцию
л-го порядка и выражение, стоящее в фигурных скобках, равно
- п (л + 1) /.
Предположим, что это значение подставлено в формулу (43') и для простоты
сохраним для зависящего от г множителя обозначение /. Введем затем в
качестве новой искомой функции величину
X = rf (44)
и в качестве независимой переменной величину
в = г-г0. (45)
После подстановки получаем
+ (46)
До сих пор вычисления удавалось проводить строго. Сделаем
теперь
известное приближение, причем я отмечаю, что приведенное ниже обоснование
этого приближения нельзя считать полным. Сравним уравнение (46) со
сходным по строению уже рассмотренным уравнением (22'), которое
отличается от (46) лишь появлением у коэффициента перед неизвестной
функцией дополнительных слагаемых, имеющих относительный порядок величины
. Это можно увидеть, если разложить в ряд выражение
г о
п(п+ 1) _ п(п+ 1) (, 2 Q , Зе2 1 {Л*7\
(Xo + qY rt I1 г"" + Я ¦•¦)' к ,}
подставить его в (46), сгруппировать члены с одинаковыми степенями
- и ввест г0
величину:
"- 4 ¦
- и ввести вместо р новую переменную q', отличающуюся от q на малую
Го
шчину:
е' = е • (">
Уравнение (46) примет при этом вид
+ + = (46')
где для сокращения положено :
'а - ца' - п {п + 1} {1 n (n +J)___________)
и-^а г* { ПцЬ' + Зп(п+\)) '
(49)
КВАНТОВАНИЕ КАК ЗАДАЧА О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
703
Символ в формуле (46) обозначает слагаемые более высокого порядка
относительно величины -, чем наименьшие оставляемые члены.
го
Об уравнении (22'), с которым мы сейчас сравниваем уравнение (46'), нам
известно, что его первая собственная функция заметно отлична от нуля лишь
в некоторой малой области по обе стороны от начала координат. Только при
более высоких порядковых числах эта область постепенно расийфяется. При
небольших порядковых числах соответствующая область для уравнения (46')
будет в действительности меньше г0, если подставить порядок величин
молекулярных констант и отбросить член . Отсюда мы
выводим то, как я повторяю, нестрогое заключение, что для первой
собственной функции, а также первого собственного значения подобным
образом получается приемлемое приближение в области, где эта первая
собственная функция вообще заметно отлична от нуля. Из прежнего условия
для собственных значений (25) с помощью несложного вычисления после
возвращения к старым обозначениям вместо' (49), (39) и (39') и введения
для сокращения новой малой величины
п (п + 1) /г* _ п (л_+_1) Л*
16 я1 1^(2 r> 16я4г>02 А2 ^
получаются следующие уровни энергии :
Е = ?, + ^Л^(1-1^)+1Щ*,.КГ+37 (51).
(л = 0, 1, 2,...; 1 = 0, 1, 2,...), где, кроме того, использована запись
момента инерции в виде
A=[irl. (52)
Говоря языком классической механики, величина е представляет собой
квадрат отношения частоты вращения к частоте колебания v0 и является
поэтому в случае молекулы действительно малой величиной, так что формула
(51) имеет обычное строение, если пренебречь связанными с е малыми
поправками и отмеченными ранее неточностями. - Эта формула является
синтезом формул (25') и (34), причем еще добавляется слагаемое
трансляционной знергйи Et. Следует подчеркнуть, что качество приближения
определяется не только малостью е, малой должна также быть и величина /.
Практически I действительно оказывается обычно небольшим числом.
Связанные с е поправки в (51) еще не учитывают отклонение ядерных
колебаний от чисто гармонического типа. Поэтому сравнение с формулой
Кратцера (см. Зоммерфельд, цит. соч.) или с экспериментом еще невозможно.
Я привел данный случай только как пример того, каким образом сохраняется
в волновой механике наглядное понятие равновесной конфигурации системы
ядер, лишь в малой окрестности которой волновая амплитуда заметно
отличается от нуля. Непосредственная интерпретация нашей волновой
функции, зависящей от шести переменных, в трехмерном пространстве
встречается с очевидными трудностями.
К вращательно-колебательной задаче для двухатомной молекулы при учете
ангармонических членов в энергии связи придется поэтому еще возвратиться.
Предыдущая << 1 .. 321 322 323 324 325 326 < 327 > 328 329 330 331 332 333 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed