Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
которое следует рассматривать с помощью метода, совершенно подобного
примененному в первом сообщении для исследования кеплеровой задачи.
Одномерный осциллятор, между прочим,-
698
Э. ШРЕДИНГЕР
однако, в каждом случае точно одними и теми же уже потому, что имеется
доказательство "полноты" каждой из этих систем собственных функций.
Нетрудно увидеть при этом полную аналогию с известными соотношениями,
которые в существующей квантовой теории встречаются в случае вырождения.
Лишь в одном пункте имеется формальное различие, не являющееся, однако,
неприятным. Если применить квантовые условия Зоммерфельда- Эйнштейна,
пренебрегая возможным вырождением, то хотя и получаются такие же
энергетические уровни, тем не менее допустимые траектории оказываются
различными, в зависимости от различного выбора системы координат. В нашем
случае это не имеет места. Правда, мы приходим к совершенно различным
системам собственных функций, если, например, решать задачу о колебаниях,
соответствующую невозмущенной кеплеровой проблеме, не в полярных
координатах, как это делалось в первом сообщении, а в параболических. Но
возможным колебательным состоянием следует считать не отдельное
собственное колебание, а их любую конечную или бесконечную линейную комби
нацию. Таким образом, всегда можно линейно выразить полученные одним
способом собственные функции через другую систему собственных функций,
если только последняя является полной.
Нельзя, конечно, совершенно обойти молчанием не упоминавшийся до сих пор
вопрос о том, как в действительности распределяется энергия по
собственным колебаниям в каком-либо из конкретных случаев. В соответствии
с существующей квантовой теорией следует склониться к тому предположению,
что определенное заданное значение энергии в вырожденном случае в отличие
от случая отсутствия вырождения должно иметь лишь совокупность
собственных колебаний, принадлежащих некоторому собственному значению, а
не каждое колебание в отдельности. Я этот вопрос должен пока оставить
совершенно открытым; в частности, остается нерешенным, являются ли вообще
найденные "энергетические уровни" в действительности последовательными
значениями энергии колебательного процесса или они имеют лишь смысл
частот. Для установления точных частот излучения, если принять теорию
биений, вообще более не обязательно истолковывать собственные значения
как уровни энергии.
2. Ротатор с закрепленной осью
Из-за отсутствия потенциальной энергии в случае евклидова линейного
элемента этот пример является простейшим, мыслимым в волновой теории.
Пусть А - момент инерции и <р - угол вращения, тогда волновое уравнение,
очевидно, принимает вид
1 dV , 8 я2Е А
+ -р-У = 0.
A d<p2
Оно имеет решение :
V
sm
8 п*ЕА
<Р
(29)
(30)
cos Lf й2
Аргумент должен быть здесь целым кратным q> уже по той простой причине,
также приводит к тому же уравнению, если только за независимую переменную
принять q2. Именно таким образом я и решал сначала данную задачу.
Указанию, что в данном случае дело идет.об уравнении полиномов Эрмита, я
обязан Е. Fues'y. Как я впоследствии узнал, получающиеся при решении
кеплеровой задачи полиномы (ур-ние (18) первого Сообщения) являются (2п +
1)-ми производными от (п + /)-х полиномов Лагерра.
КВАНТОВАНИЕ КАК ЗАДАЧА О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ 699
что функция у> иначе не будет в области изменения аргумента ни
однозначной, ни непрерывной, поскольку значение q> + 2п эквивалентно
значению <р. Это условие приводит к известному результату
в полном соответствии с существующей теорией.
Данный результат не может быть, однако, использован для исследования
спектральных полос, так как ниже выяснится то своеобразное
обстоятельство, что теория ротатора со свободной осью приводит к
совершенно другим выводам. Подобное положение имеет место в общем случае.
При применении волновой механики нельзя считать для упрощения вычислений
число степеней свободы меньшим действительного даже тогда, когда из
интегралов механических уравнений следует, что при некоторых движениях
системы определенные степени свободы не проявляются. В микромеханике
система основных механических уравнений становится совершенно
непригодной, и определяемые этой системой траектории самостоятельно не
существуют. Волновой процесс заполняет все фазовое пространство.
Известно, что для волнового процесса существенно даже число измерений, в
которых он протекает.
3. Твёрдый ротатор со свободной осью
Если ввести в качестве координат полярные углы ¦& и q> осевой линии, то
кинетическая энергия как функция импульсов примет вид
- г-гтИ + даг)- <32>
По форме выражение (32) аналогично кинетической энергии материальной
точки, движущейся по сфере. Входящий в (18) дифференциальный оператор
будет поэтому совпадать с зависящей от полярных углов частью
пространственного оператора Лапласа, так что уравнение (18") примет вид
1 9 / . " Эи" 'i 1 9гу> 8л А Е п ,00ч
ЦпЖ W Г1П ~W) + sill2 & ~dqP ? V ~~ ( )
