Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
[AF + (я + ж) L\d&'
Именно, если здесь выполнить вариацию под знаком интеграла, причем
величину Я следует оставить неварьированной, dt проварьировать (см.
последнюю сноску к § 2), SF заменить работой, т. е. d'U нашего текста, то
получается интеграл, который для L = Т,
Я =-----?- , & = t совпадает с половиной нашего интеграла (7). Чтобы
иметь право после
варьирования положить & = t, нужно только смотреть на & как на время,
которое в действительном движении требуется для достижения некоторого
определенного положения.
О ПРИНЦИПАХ ГАМИЛЬТОНА И МОПЕРТЮИ
549
браическом смысле, то тогда положения, занимаемые при t ^ f и при t > t",
могут не смещаться. Всякое положение С, занимаемое при t' < t <С Г',
варьируется в такое положение С', которое само занимается при
действительном движении, но в более поздний момент времени, лежащий также
между f и t". Эти перемещения являются виртуальными, так как время не
входит в уравнения связей*.) Согласно условию варьирования, как оно может
быть высказано теперь, когда имеется независимая от времени силовая
функция, величина Т - U должна в положении С' варьированного движения
иметь то же значение, что и для положения С действительного движения. Но
мы предположили, что величина Т - U в действительном движении от С до С'
неизменно возрастает; следовательно, Т-U, а значит и живая сила Т в
положении С' варьированного движения должны быть меньше, чем в
действительном. Мы можем поэтому принять отношение между этими двумя
живыми силами равным е2: 1, где е<1. Тогда при прохождении через
положение С' все скорости варьированного движения будут находиться в
отношении е : 1 к скоростям, с которыми система проходит С' в
действительном движении, ибо пути систем в обоих движениях совпадают.
Сравним теперь два малых интервала варьированного и действительного
движений, а именно такие интервалы, в которые пробегаются одни и те же
близкие к С' различные положения и которые, стало быть, при варьировании
не рассматриваются как соответствующие друг другу; тогда затраченные
времена будут относиться как 1 : е, а части интеграла как е : 1.
Следовательно, при избранном способе варьирования распространенная на
промежуток времени от t' до t" часть интеграла J Т dt, выражающего
"действие", будет уменьшена; более Точное рассмотрение показывает, что
другие части интеграла не изменяются. Таким образом, получается
уменьшение всего интеграла, и можно показать, что это уменьшение вообще
будет одного порядка малости с вариациями координат и с величинами 1 - е.
Если бы положения системы были смещены в противоположном направлении, то
получилось бы при варьировании увеличение интеграла J Т dt. Поэтому
нельзя, не впадая в противоречие с принципом наименьшего действия,
мыслить величину Т - U возрастающей в действительном движении;
естественно, что ее нельзя мыслить и убывающей. Итак, величина Т - U
постоянна.
§ 6. Разнородность действительного и варьированного движений
Повсюду следует соблюдать условие, что вариации положения должны быть
виртуальными перемещениями. Иначе обстояло бы дело, если бы мы выдвинули
требование, что варьированное движение должно удовлетворять тем же
уравнениям связей, что и действительное движение. Если, например,
уравнения связей даны в форме (9), т. е. как обыкновенные уравнения
<°i (хь Уь хг, уп z" Q = 0 (г = 1, 2, ...),
то последнее требование повлекло бы за собой равенства mi (*i &xi> • • •>
zr 4" 6zr, t + dt) = О,
а отсюда и
dcot = 0.
*) См. G. К i г с h h о f f, Vorlesungen fiber Mathematische Physik, т.
II, Mechanik, Leipzig, 1877, стр. 25 и 34. Соотношение между виртуальным
и действительным перемещениями, о котором говорит Герц в № 111, основано
на том, что он не вводит времени в уравнения движения.
550
О. ГЁЛЬДЕР
Но применение принципов механики требует соблюдения уравнений (11):
"Ч-Лт^о 0 = 1,2,...).
Эти уравнения согласуются с требованием dmt = 0, когда
т. е. когда в функции (9) не входит время и когда dt = 0, т. е. когда
должен быть применен принцип Гамильтона. Напротив, применяя принцип
наименьшего действия, следует обращать внимание на упомянутую разницу,
когда в уравнения связей входит время. В этом случае действительное и
варьированное движения разнородны.
Эта разнородность появляется и в принципе Гамильтона*), когда уравнения
связей даны как дифференциальные уравнения в форме (1), причем время в
них не входит. Это сделается ясным из примера следующего параграфа. Здесь
следует только отметить, что разнородность движений опять-таки исчезает,
когда имеются герцевы голономные материальные системы. В этом случае
условия могут быть взяты в форме (2):
Г<*Ф,= 0 (/ = 1,2,...);
эти условия выражают, что величины Фх, Фг, .. . при движении должны
оставаться постоянными, причем эти постоянные значения не должны быть
заранее заданы. Если теперь варьированное движение должно удовлетворять
тем же самым условиям, то можно было бы по сути дела для этого движения
