Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
принципа Гамильтона и из принципа наименьшего действия, причем
одновременно могут быть введены новые координаты. Вывод дифференциальных
уравнений из принципа Гамильтона не требует дальнейших пояснений; он дан
Фоссом (там же, стр. 263) в символической форме, тогда как наша концепция
вариации движения всегда позволяет прямое применение принципа. Вывод
уравнений из принципа наименьшего действия дал повод к различным работам
(см. Родригес, Correspondance sur ГЁсо1е 1трёпа1е Polytechnique, т. III,
стр. 159, и Майер (A. Mayer), Вег. d. Konigl. Sachs. Ges. d. Wiss.,
math.-phys. Klasse, 1886, стр. 343). Проще всего идти в обратном порядке
нашим указанным выше путем. Составляем в любых координатах выражение
d$Tdt = §(dTdt+Tddt)
и заменяем затем величину <5 dt, которая здесь входит explicite и
implicite, при помощи уравнения (8), некоторым выражением, умноженным на
dt, которое содержит вариации положений и их производные. От этих
производных мы избавляемся интегрированием по частям. Таким путем
получается интеграл, который аналогичен правой части уравнения (6).
Положив этот интеграл равным нулю и принимая во внимание независимость
виртуальных перемещений отдельных положений системы, мы получаем
дифференциальные уравнения движения.
**) См. § 5. См. также Voss Math. Ann., т. 25, стр. 266.
35*
548
О. ГЁЛЬДЕР
при этом вариации положения должны быть виртуальными перемещениями, а
начальное и конечное положения должны оставаться неварьированными. Эта
более узкая форма применима, когда существует не зависящая от времени
силовая функция и время не входит также в уравнения связей *).
§ 5. Расширенная форма принципа наименьшего действия и теорема
о сохранении энергии
Более узкая форма принципа наименьшего действия предполагает
существование предложения о постоянстве энергии, расширенная форма этого
не предполагает. Мы можем также вывести предложение о постоянстве энергии
из расширенной формы принципа, если мы предположим существование силовой
функции, а также независимость этой функции и уравнений связей от
времени. Если мы будем считать упомянутое предложение неизвестным и
предположим, например, что величина Т - U при действительном движении в
промежутке времени от t' до t" неизменно возрастает в алге-
*) Я не буду здесь исследовать, в какой мере уже у Мопертюи можно
говорить о некотором определенном принципе и какова доля других авторов в
формировании идеи этого принципа, в особенности Эйлера (см. A. Mayer,
Geschichte des Prinzips der klein-sten Action, 1877, и Helmholtz, там
же). У Лагранжа в "Аналитической механике" (2-е изд., 1911, т. 1, стр.
296 и далее) имеется вывод принципа наименьшего действия из основного
уравнения динамики. При этом он допускает, что уравнение, выражающее
предложение о сохранении энергии, при вариации (без изменения входящих в
него постоянных) продолжает оставаться в силе. Таким путем он получает
соотношение, соответствующее уравнению (8) нашего текста. Из названного
допущения следует заключить, что Лагранж в приведенном месте имел в виду
более узкую форму принципа. Но если уравнение (8) ввести прямо в качестве
условия варьирования, оставить в остальном ход доказательства Лагранжа
полностью без изменения и поставить вопрос о минимальных предположениях,
при которых оно имеет силу, то мы придем к расширенной форме принципа.
Указание на эту форму содержится также в его более ранней работе в
Miscellanea Taurinensia, т. II, 1760-1761 (Oeuvres, 1867, т. I, стр. 365
и далее). Именно там, в п. XIII, говорится, что соотношение (U),
полученное в п. VIII, которое есть не что иное, как наше уравнение (8),
применимо в случае совершенно произвольных сил. Большинство
последователей Лагранжа взяли от него лишь более узкую форму принципа
как, например, Гамильтон в Phylosophical Transactions, 1834, стр. 252.
Якоби сообщил этой форме принципа другое выражение, выразив под знаком
интеграла величину Т dt через элементы •объема и постоянную, которая есть
не что иное, как постоянное и неварьируемое в данном случае значение Т -
U (Vorlesungen fiber Dynamik, 1866, лекция 6). Только Гельмгольц в
приведенной работе вылущил из трудов Лагранжа расширенную форму принципа.
Что касается отношения этой формы принципа наименьшего действия к
принципу Гамильтона (Phylosophical Transactions, 1835, стр. 99), то я
нахожу в противоположность Гельмгольцу, что между обоими этими принципами
должно проводиться строгое различие. Так как оба они эквивалентны
принципу Д'А л а м б е р а, то они также являются следствиями один
другого. Несмотря на это, ни один из этих принципов не может быть
непосредственно подведен под другой, ибо они относятся к различным
способам варьирования. Но оба принципа получаются путем специализации
заключающегося в уравнении (7) интегрального принципа, в котором
варьирование движения выполнено более общим способом. Интеграл (7) стоит
в близкой связи с гельмгольцевой интегральной формулой (2Ь):
