Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
происходит первоначальное движение. Если мы предположим силы такими, что
можно говорить о "потенциальной энергии", то этот способ варьирования
можно определить следующим образом. Для соответствующих состояний в
сравниваемых движениях полная энергия должна быть одна и та же. Это
условие варьирования позже будет сформулировано иначе так, что оно будет
подходить и для остальных случаев. Полная энергия складывается из живой
силы и потенциальной энергии. Но так как первоначальное движение
предполагается заданным, то для каждого места С пути в этом движении даны
живая сила и потенциальная энергия. Для соответствующего места С'
варьированного пути сначала известна лишь потенциальная энергия,
зависящая только от положения. Из поставленного здесь условия
варьирования получается для места С' еще живая сила, а вместе с тем и
скорость.
После того как новая траектория и ее точечное соответствие с прежней
траекторией установлены, варьированное движение полностью определяется
как из первого условия варьирования, так и из второго условия, но в обоих
случаях по-разному. При втором способе варьирования время варьируется,
при первом способе - нет.
Аналогично обстоит дело и при движении материальной системы. Если мы
вместе с Герцем будем понимать под "положением системы" совокупность
положений точек системы, то движение заключается в непрерывной
последовательности положений системы, которые проходятся определенным
образом с течением времени. Чтобы варьировать такое первоначальное
движение, мы сообщим сначала каждому положению системы малое перемещение
так, что получается новая непрерывная последовательность положений
системы. Если в первоначальной последовательности система проходит через
одно и то же положение два раза, то мы имеем два перекрывающихся
положения, которые, естественно, могут быть смещены различным образом.
Теперь новые траектории точек системы и соответствие между точками этих
*) Более точный способ обозначений, принятый в чистой математике и
устанавливающий различие, с одной стороны, между дифференциалом и
приращением, а с другой- между вариацией и приращением, был бы здесь
нецелесообразным.
О ПРИНЦИПАХ ГАМИЛЬТОНА И МОПЕРТЮИ
543
траекторий установлены; поэтому можно при наиболее общем способе
варьирования для одной точки системы во всех точках ее новой траектории
выбрать скорость. Но если твердо установить, что либо новые положения
должны быть пройдены одновременно с соответствующими старыми положениями,
либо для двух взаимно соответствующих состояний обоих движений полная
энергия должна быть одна и та же, то этим полностью будет определено, как
должна быть пройдена новая последовательность положений системы.
В предшествующем изложении мы не принимали в расчет уравнения связей.
Если движение подчинено условиям связей, то это не лишает нас возможности
сравнивать такое движение с варьированным движением, не удовлетворяющим
этим условиям связей.
§ 2. Вывод интегральных принципов
Теперь я рассматриваю в смысле обычной механики материальную систему,
движущуюся под действием сил и одновременно удовлетворяющую уравнениям
связей. В уравнения связей может также входить время. Достаточно считать
систему отнесенной к системе прямоугольных координат. Варьируя движение,
я сначала не обращаю внимания на уравнения связей. Если т1; гщ, .. . -
массы материальных точек, то для вариации живой силы получается:
в(tm) -г, (dx, в dx, . dy v в dyv . dzv (c) dz,\ /o\
дТ==2тг(чгдчг + чгд- + ~~д--). (3)
w
При этом, например,
(c) dxv 6 dx, ¦dt - Sdt ¦ dx, d 6xv •dt - dSt ¦ dx, *).
~dT- dt5 - dF~.
*) Здесь должна применяться эта формула вариационного исчисления, так как
величина, по которой происходит дифференцирование, варьируется. Если мы
хотим этого избежать, то мы должны, как это сделал, например, Гельмгольц,
ввести еще переменную Тогда мы относим положения первоначального движения
к значениям параметра # и те же значения параметра привязываем к
соответствующим положениям в варьированном движении. Таким образом, # не
варьируется, а варьируется время t. В особенности наглядной
представляется следующая точка зрения. Пусть т есть время движения от
начального положения системы А до положения С в первоначальном движении,
а т + St - время, которое проходит от начального положения А до
соответствующего положения С' в варьированном движении. Все величины,
включая и dt, могут рассматриваться как dx
функции т. Тогда д -• есть разница между составляющими по оси х скорости
массы т, для варьированного и неварьированного движений. Очевидно, стало
быть,
, dx, d (х, + дх,) dx, _ dt ^Xv _ dx, _
dt d (г + dr) dr d . , " . dr
-fo- (J + Sr)
( dx, _ dSx, ) Г. . d dr \ dx,
~ V dr dr ){ ~*~ dr J dr
Если теперь произвести разложение в ряд и пренебречь членами высшего
порядка в выражениях производных вариаций, то получается
d dx, dx, d dr
dr dr dr '
т. e. формула, стоящая в тексте. Одновременно мы убеждаемся в том, что не
