Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
d2y ds2 ~ A ( ' bcp v Эу dx ds + dy> w dy ds
d2z ds2 -A( bcp dx ds + [0y> k02 dy ds
+ + W(-X<f)= 0,
+ 1гт) + ^(;1в=о-
*) См. Voss, Math. Ann., т. 25, стр. 280. Если рассматривать
варьированную траекторию как расположенную в развертывающейся поверхности
а предыдущего параграфа, то условие 6 J ds дает действительную траекторию
как "геодезическую линию" поверхности а в обычном смысле слова. Но тем
самым мы сейчас же приходим к геометрическому свойству, высказанному в
тексте.
**) № 309.
***) См. Г е р ц, № 155d. Так как мы вывели эти траектории из принципа
наименьшего действия, здесь неважно, насколько основательно они могут
быть названы "наиболее прямыми".
****) В отношении этого правила вариационного исчисления см. Schaeffer,
Math. Ann., т. 25, стр. 555 и далее, и A. Mayer, Вег. d. math.-phys. Ю.
d. Sachs. Ges. d. Wiss., 1885, 1895 и Math. Ann., т. 26.
О ПРИНЦИПАХ ГАМИЛЬТОНА И МОПЕРТЮИ
555
Этим уравнениям можно также придать такую форму:
d2x ds2 , dA + V ds~ " dtp s- ?¦ CD <X5 MS ( 9y l Эх AM
dz ds = o,
d2y ds2 dA + V-dT~\ 9 У _ 9y dtp ' dz J ( 9 I 9y AM dx ds
= 0,
d2z ds2 dA + * ds r dip { dz dx dx Mf f 9 tp { dz AM dy_ ds
= 0;
они определяют вместе с уравнением (13) так называемые "геодезические
траектории"*).
Герц показал, что для его голономных систем геодезические траектории
совпадают с наиболее прямыми, т. е. с действительными траекториями**). В
самом деле, если условие интегрируемости выполнено, то можно считать, что
уравнение (13) задано так, что <р dx + ip dy -j- % dz есть полный
дифференциал. Тогда имеют место соотношения
dip dip [0iр d/ ]dy> dx
dy dx ' dz dx ' dz dy
и уравнения (26) в связи с этим выражают не что иное, как существование
пропорции (23).
§ 10. Множественность действительных и геодезических траекторий
Действительная траектория материальной точки полностью определена, если
даны начальное положение и начальное направление. Это вытекает из
механических оснований, но это можно было бы также доказать, исходя из
найденного геометрического свойства действительных траекторий. Если же
дано только начальное положение А, то начальное направление на элементе
поверхности, соответствующем точке А, можно выбрать произвольно. Таким
образом, из определенного места выходит бесконечно большое число
действительных траекторий.
Иначе ведут себя геодезические траектории, когда не выполняется условие
интегрируемости. Они определяются уравнениями (26), к которым
присоединяется еще (13). Уравнение (13) после дифференцирования дает:
"i!?- д. W^L- + у _L (JA А + JA A I A A) A +
r ds2 ^ v ds2 ^ /v ds2 T I Эх ds Эу ds т Эг ds ) ds ^
f dtp dx dtp_ dy_ , _dtp_ dz\ dy_ ( dx_ dx_ dx_ dy_ _9y_ dzA
dz_ _ ~
I. Эх ds Эу ds dz ds J ds dx ds Эу ds Эг ds J ds ' '
d^x d2y
С помощью этого уравнения и уравнений (26) можно выразить ,
' ЖчеРез х> У> Ж' Ж' Можно, следовательно, с помощью на-
званных уравнений определить величины х, у, z, Я как функции s, если для
некоторого начального значения s заданы соответствующие начальные-
значения величин х, у, z, ^, Я. Если же, с другой стороны, выполнить
интегрирование уравнений (26) и (27) при каких-либо начальных значениях,
то получаются функции, которые в силу уравнения (27) удовлетворяют
*) Г е р ц, № 181 ; Voss, Math. Ann., т. 25, стр. 282.
**)№ 190.
556
О. ГЁЛЬДЕР
условию
ds "т" ^ ds /у ds
dx . dy , dz Ч>-йГ + Ч>-нГ+ %жГ = С1>
где Сг означает постоянную. Так как, далее, из уравнений (26) после умно-
dx dy dz
жения на -г-, -f-, -г- и сложения вытекает соотношение
ds ds ds
d2x dx . d2y dy . d2z dz . j dx . dy . dz 'j dЯ
¦ ( dx | dy , dz\ dA n
+ Г ds" + ^ li + 1 ds J d7 ~ 0 '
ds2 ds ds2 ds ds2 ds то полученные функции должны также удовлетворять
условию
(?Г+(1Г + Ш!+2^=с-
Здесь С2 - постоянная. Начальные значения должны быть выбраны так, чтобы
было Сх = О и С2 = 1. Отсюда видно, что коль скоро дано начальное
положение х, у, z, можно еще произвольно выбрать начальные значения
величин s, X и отношения Начальное значение s не
существенно,
и, таким образом, в уравнение подлежащей определению геодезической
траектории входят еще две постоянные. Однако можно показать, что
начальное значение Я только тогда влияет на вид траектории, когда не
выполнено условие интегрируемости (14)*). Следовательно, если для какой-
либо точки величина
<Р (fa - Хд + У> ('А - <Рз) + Х (<р2 - fi) (28)
не равна нулю, то из этой точки выходит дважды бесконечное число
действительных траекторий.
Этот результат аналогичен результату, найденному для шара. В случае шара
движения, исходящие из некоторого заданного положения и удовлетворяющие
задаче о минимуме, упомянутой во введении, образуют многообразие высшего
порядка по сравнению с теми движениями, которые может выполнять шар,
исходя из заданного положения, при отсутствии действия сил.
§ 11. Движение катящегося шара. Уравнения связей
Теперь мы составим дифференциальные уравнения для движения катящегося
шара. Пусть будут - координаты относительно неподвижной в пространстве
