Реликтовый фон, относительность, динамика, спин - Пилепских Н.
ISBN 978-3-659-23496-5
Скачать (прямая ссылка):
2.1. Нерелятивистский эффект Доплера для равномерного движения источника и приемника
Пусть в однородной изотропной среде распространяется волновое (для простоты - гармоническое) возмущение со скоростью с. В этой среде движутся точечный источник сферических волн (индекс i) и точечный приемник колебаний (индексp).
Предполагается, что и источник, и приемник движутся равномерно относительно среды. Требуется определить частоту принимаемого сигнала по известной частоте источника колебаний.
В некоторой декартовой системе координат, неподвижной относительно среды, координаты источника и приемника (оба - точечные объекты) запишутся в виде
ri (t) = ri0 + v,'t, rp(t) = rp0 + vp '(t-
где |rp0 - ri0| = L - расстояние, которое должен пройти сигнал, испущенный
источником в момент времени t = 0 и полученный приемником через время
t1 = Цс.
Если T - период колебаний, генерируемых источником, Tp - период
колебаний, регистрируемый приемником, a t2 - время, за которое сигнал пройдет расстояние между источником, находящимся в точке с координатой r (T) = ri0 + vrT и приемником, находящимся в точке с координатой rp (Tp) = rp0 + vp-Tp, то справедливы соотношения
14
Ч + Tp = T + ^2> (1)
kp (TP) - r (T ),| |Ar0 + vp-Tp - v,Tj , (2)
c c
где Aro = rpo- r,o-
Если из соотношений (1) и (2) исключить переменную t2, то получится квадратное уравнение относительно неизвестной величины Tp, решение которого - общий вид выражения, описывающего эффект Доплера - запишется:
Tp = a¦ jb-T- - d~ + ^ d2-L + 2-eL-T + f-T? \ (3)
где
v2 ^ v. ¦ v v
a = | 1 —2 I ; b = 1 ——2p¦ cos^p; d = 1 —- cos9p ;
e = 1 1 -cosftl/1 -1 -{1 - — ¦ cosal/1 - -^ ¦cos a
f - (.-^ j -^- ?j -i ,;
vt, vp- модули скоростей источника и приемника; a, вр - углы между вектором Ar0 и векторами скорости v,, vp соответственно; ap - угол между векторами скорости v,, vp.
Физическим решениям уравнения (3) соответствует знак плюс перед корнем, что следует из полученных ниже (известных) частных случаев: _____________________________________________________________________Таблица 1
№ v, vL a a- T-
1 0 0 - - - Tp = T
2 v v a a 0 T =
3 vi vL 0 0 0 T = 1 V‘lc T p 1 - vp/c ‘
4 vi vL n 0 n T = 1+vlc T p~ 1 - vp/c ‘
5 vi vL 0 n n T = 1-v,lc T, p 1 + vp/c '
6 vi vL n П 0 t = 1+v‘!c T. p 1 + vp/c '
7 v, 0 a - - Tp = T - L + — %/l2 - 2 ¦ L ¦(vT ^cos^ (v,.-T )2 c c
7а vt 0 0 - - Tp = (1 - v,/c) ¦T
76 vt 0 П - - Tp = (1 + v,/c) ¦T
7в v, 0 П 2 - - T = T-L+—'JL, + (v,T)2 =T +—c—¦ T2, при L>>v,T cc 2^L c
15
7г У' 0 - - Tp = (1 - — cosQ) T, при L2 »(v T)2 c
8 0 vp Qp Tp = a- T-i L-c d¦'-+2{coI"p-c)tiT't+(TT J V )
8а 0 vp - 0 - - ^ 1 II
86 0 vp - П - T = 1 T. p 1 + vp/c -
8в 0 vp П 2 Tp = a- T----2-vfЬ + (cJ T К У
8г 0 vp Qp Tp ~ a- ( v > COSQp -С vp 1 + c ¦ p v c 1 —cosQ \ c > ¦T ~ a-j\ + — ¦cosQ jT, - ^ VT
Предельные переходы соотношения (3), описывающего в эффект Доплера для точечных источника и приемника в нерелятивистском приближении, показывает, что
1. часто используемые частные соотношения (строки таблицы 3-6, 7а-7б, 8а-86), описывающие эффект Доплера для случая относительного движения источника и приемника по одной прямой, являются точными;
2. попытка учесть иное относительное движение источника и приемника введением тригонометрического множителя к величине относительной скорости, как следует из 7г, 8г, является приближением, допустимость которого не всегда очевидна;
3. при произвольных углах скоростей источника и приемника относительно прямой их соединяющей, эффект Доплера является нетривиальной функцией относительного расстояния L, и только при L асимптотически Tp ^ T;
4. как при vp = 0, 0t = я/2 (см. 7в), так и при vt = 0, вр = ж/2 (см. 8в) имеет
место поперечный эффект Доплера;
5. Эффект Доплера в общем случае относительного движения источника и приемника, как следует из (3), не сводится к произведению эффектов «у источника» и «у приемника», как это получается в частных случаях (строки 3-6 таблицы).
Нетривиальными обобщениями проведенного рассмотрения эффекта Доплера, будут неравномерное движение источника и приемника и релятивистское рассмотрение эффекта Доплера.
16
2.2. Эффект Доплера при неравномерном движении источника и
приемника
В общем случае (неравномерного) движения источника и приемника эффект Доплера, очевидно, становится нестационарным: даже при
фиксированной частоте источника сигнала, в общем случае, от времени будут зависеть и частота возмущения среды в ее собственной системе отсчета, и частота принятого приемником сигнала. Следовательно, описание нестационарного эффекта Доплера будет решением волнового уравнения с движущимися источником и приемником. Эта задача - предмет отдельного рассмотрения.
Существенное упрощение описания эффекта Доплера при неравномерном движении источника и приемника достигается в квазистатическом («адиабатическом») приближении - при «медленном» изменении скоростей источника и приемника: характерное время изменения скоростей источника Т = vj(dvjdt) и приемника тр = vpj(dvpjdt) должно быть много больше большего из промежутков времени Tt, Tp и т~ L/c, где L - расстояние, которое должен преодолеть сигнал, испущенный источником, чтобы достичь приемника.
