Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
1.6. Гамильтоновы системы с симметриями
ПустьМ - многообразие с пуассоновой структурой!,). Гамильтонова
динамическая система определяется заданием функции Гамильтона Н(х), и ее
уравнения движения имеют вид
Гамильтониан, соответствующий этой матрице, имеет вид
(1.5.18)
H# = (J.X, Ух) = - (р, Вр) - (q, Bq) + (р, Aq) - (q, Ар).
(1.5.19)
(1.5.20)
со = tr (dy A dx).
(1.5.21)
g- X -> gxg\ у -> gyg, gg* = I. Отображение момента здесь дается формулой
д: (х, у) -> i [х, у] = i (ху - ух).
(1.5.23)
(1.5.22)
д: (х,^)->(^х'')-,
(1.5.24)
х< = { Н (х), х'},
(1.6.1)
где х1 - локальные координаты на М, точка означает дифференцирование
32
по времени. Пусть на М гамильтоновым образом действует группа Ли G,
причем функция Н инвариантна относительно этого действия. Такую систему
{М,{ , Н, G} (1.6.2)
назовем гамильтоновой системой с симметрией группы G.
Одним из важнейших свойств гамильтоновой системы с симметрией является
наличие у такой системы интегралов движения.
Теорема 1.6.1 [1]. Пусть мы имеем динамическую систему с функцией
Гамильтона Н(х) и пусть Н(х) инвариантна относительно гамильтонова
действия группы G на М. Тогда момент ц(х) (определенный в предыдущем
разделе) является интегралом движения рассматриваемой системы.
Эта теорема является обобщением хррошо известной теоремы Э. Нё-тер. Таким
образом, наличие симметрии у системы дает возможность найти дня нее
интегралы движения. Следует, однако, иметь в виду, что нахождение
симметрии системы по известным интегралам движения в ряде случаев может
оказаться весьма сложной задачей.
В конкретных случаях для нахождения гамильтоновых систем с симметриями
бывает удобнее фиксировать сначала М, { , } и С, и затем находить
условия, при которых гамильтониан Н инвариантен относительно действия
группы.
Приведем несколько примеров.
1. М = И2" = {х = (р, q): р = (ри р"), <7 = (<7ь ¦ • • , Я" ) > ,
скобка Пуассона стандартная, группа G однопараметрическая и действует
наМтак:
Qs - Pj^ Pj. Я1 Я1 + s.
Эта группа порождается векторным полем
j= I bqi
Условие инвариантности гамильтониана Н имеет вид Н (pj, qk +s)= Н (pj,
qk),
или
Xr H = 0.
Отсюда следует, что общий вид гамильтониана, инвариантного относительно
G, таков:
н(Pj, Як) = F(Pj, Як~ Я1)- (1.6.3)
Величина р = является интегралом движения.
/
2. Пространство М и скобка Пуассона те же, что и в предыдущем примере.
Группа G = { g] = SO(n) ~ группа вращений л-мерного пространства
g¦ (Р,я)~* (gp, яя)-
2. А.М. Переломов
33
Условие инвариантности гамильтониана Я имеет вид
н (?Р, gq) = н (р, q).
Обший вид такого гамильтониана
Я = H(p\q\pq).
(1.6.4)
Величины
Цк = (QjPk~ Як Pj)
являются интегралами движения.
3. Пусть Я - гамильтониан л-мерного осциллятора,
н= 1-(р2 + Я2)
(1.65)
(М и Скобка Пуассона тр же, что и в примере 1). Этот гамильтониан
инвариантен не только относительно группы SO (л), но также относительно
более широкой группы, а именно группы SO (2л). Однако преобразования из
этой группы не сохраняют симплектическую форму со = dpj A dq-r Форма со,
однако, инвариантна относительно группы Sp(2n; CR). Поэтому наша система
инвариантна относительно группы G = Sp(2n, CR) П SO (2л), которая
является максимальной компактной подгруппой в Sp(2n, 1R) и изоморфна
группе и(л). Алгебра Ли этой группы состоит из матриц вида
В заключение этого раздела отметим, что наличие интегралов движения
приводит к уменьшению размерности многообразия, на котором происходит
движение. Именно, многообразие поверхности уровней интегралов движения
Fa, Мс = { х: Fa(x) = са} инвариантно относительно динамики. В разделе
1.8 мы рассмотрим замечательный класс гамильтоновых систем, для которых
это многообразие является л-мерным тором.
1.7. Редукция гамильтоновых систем с симметриями
Напомним, что наличие симметрии приводит к существованию у гамильтоновой
системы интегралов движения. Это дает возможность редуцировать систему -
свести ее к системе с меньшим числом степеней свободы. В этом разделе мы
покажем, следуя [243, 1, 40, 25], как это можно сделать. Хорошо известный
пример (см., например, [25]) - это гамильтонова
(1.6.6)
Интегралы движения имеют вид
Цк ~ Qj Рк - Як Pj. Ijk ~ ~Ikjy fjk ~ Я) Як Pj Рк ' fjk ~ fkj-
(1.6.7)
система, инвариантная относительно группы G = SO(3) - группы вращения
34
трехмерного пространства:
M={{p,q): p,qe В3} , со = dpj/\ dqjy (1-7.1)
Я = Х-рг + U ( i <7 I).
Гамильтониан Я и форма со инвариантны относительно действия группы G = SO
(3):
Р^ SP, q'~> т, g G SO(3). (1.7.2)
Отсюда находим интегралы движения - компоненты вектора момента количества
движения
h =q2P3-q3p2, h= q3p\ - q\p3, h= q\P2 - q2Pi- (1-7.3)
Поскольку мы имеем три интеграла, то можно было бы ожидать, что с их
помощью можно уменьшить размерность фазового пространства на шесть
единиц. Однако эти интегралы не находятся в инволюции, и потому удается
уменьшить размерность лишь на четыре единицы.
Рассмотрим подмногообразие с фиксированным значением момента количества
