Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
с 2-формой со, нигде не обращающейся в нуль на нем, является
симплектическим.
6.М = ?2 - плоскость Лобачевского, которую можно реализовать, например, в
виде единичного круга D = {z: I z I < 1} на плоскости комп-
20
лексного переменного z. Форма со имеет вид
со = (-2г)(1 - Iz 12y2dz A dz. (1.3.14)
Отметим, что область D можно рассматривать как стереографическую проекцию
верхней полости двухполостного гиперболоида, вложенного в терхмерное
псевдоевклидово пространство.
7. Пусть М - орбита коприсоединенного представления Е(3) - группы
движений трехмерного евлклидова пространства. Как уже отмечалось ранее,
орбита М выделяется в шестимерном пространстве с координатами *j и Ук, /,
к = 1, 2, 3, уравнениями
у2 = а2, (ху) = ab. (1.3.15)
Скобка Пуассона имеет вид (1.2.30) и на многообразии М невырождена.
Замена
b
Zj = Xj------yj (1.3.16)
а
устанавливает изоморфизм М с кокасательным расслоением T*S2 к двумерной
сфере S2 { у, z: у2 = а2, (zy) = 0} . Оказывается, что скобку Пуассона на
Т S2, индуцированную скобкой (1.2.30), можно глобально привести к виду
(1.2.21). Соответствующая замена (см. [93, 14]) имеет вид
у 1 = асоьвсоьф, у2 = acosflsini//, у3 = asinfl, 3 17)
zi = уфtg(9cosV/ - yesin\p, z2 = Уфtgвsin\p + yecos\p, z3 = -уф ,
где
я я
< 9 < -, 0 < ф < 2я.
2. 2
Из формулы (1.3.17) следует, что
{в, ф) = {ув, ф) = {уф,в} =0, {в, ув) = {ф, Уф}=1,
yL.J.LO)
{Ув,Уф} = bcose, а соответствующая 2-форма со имеет вид
со = dO A dyg + dф А dyф + bcosOdO А dф = dr?.А + F,
(1.3.19)
где
т}1 = в, т}2 = ф, = Ув, %2 = Уф, F= bcosOdO A dф. (1.3.20)
Интеграл от формы F (или со) по базисному циклу [S2] S H2(T*S2) = = Z
имеет вид
f(F= //со = 4яй. (1.3.21)
Таким образом, мы получаем стандартную скобку Пуассона на T*S2,
дополнительно искаженную магнитным полем F. При b Ф 0 эффективное
магнитное поле отлично от нуля и представляет собой''монополь Дирака"
(неквантованный).
Как уже отмечалось выше, симплектические многообразия являются
естественными фазовыми пространствами для гамильтоновых систем.
Рассмотрим простейшие свойства таких систем (относительно подробного
рассмотрения см. монографии [1,2,40]).
Пусть многообразие М - симплектическое с формой со = сOjk(x)dx! А A dx .
Наличие тензоров со;к и сок' позволяет установить соответствие между 1-
формами 0 = Oj(x)dxl и векторными полями X = {X'} на М. Заметим, что
векторное поле X можно рассматривать как дифференциальный оператор
первого порядка на М:
X = X'bj, Э/ = Ъ/Ъх>. (1.3.22)
При этом векторному полю X - Х'Ъ/ соответствует 1-форма в = со (X) = =
сojkXidxk.
Определение 1. Векторное поле Л1 на симплектическом многообразии (М, со)
называется гамильтоновым, если соответствующая ему 1-форма в = со(Х) =
ajdx1 является замкнутой.
В локальных координатах х' условие гамильтоновости поля X = Х'Ъ,-имеет
вид
Ъка/ - Ърк = 0, а/ = со,кХк. (1.3.23)
Нетрудно видеть, что любое гамильтоново векторное поле X сохраняет форму
со :
Lxгсо = б, (1.3.24)
где Lx~ производная по направлению поля X. Отметим, что обратное
утверждение также справедливо.
При некоторых дополнительных предположениях гамильтоново векторное поле X
генерирует однопараметрическую группу {} симплектических преобразований
многообразия М - фазовый поток. Такой поток оставляет инвариантной форму
со, т.е. g'co = со.
Определение 2. Векторное поле X называется строго гамильтоновым, если
соответствующая ему форма в = со (X) является точной, т.е. со(Х) = dH,
где Н - функция на симплектическом многообразии М (функция Гамильтона,
или гамильтониан).
Обратно, если Н - функция на М, то векторное поле Хн = со-1 ¦ dH,
соответствующее 1-форме, является строго гамильтоновым.
Приведем простой пример гамильтонова векторного поля, не являющегося
строго гамильтоновым. Пусть М = S1 X S1 - двумерный тор,
Э Э
со = dp A dq, 0 < р < 2я, 0 < q < 2я. Поле X = а - + b- {а и b - кон-
Э q Ър
станты) является гамильтоновым, но не строго гамильтоновым. Нетрудно
видеть, что это связано с топологическими свойствами многообразия М, а
именно с тем, что первая группа когомологий Н1 (М; [R) нетривиальна: Я1
(М; И) # 0.
Мы будем в основном рассматривать случаи, когда поле X строго
гамильтоново и динамика на М задается функцией Гамильтона Н(х), а
уравнения-динамики в локальных координатах имеют вид
со,-кхк = Э/Я или хк = coklbtH. ' (1.3.25)
22
Еще раз отметим, что такая форма записи уравнений была впервые
использована (в частном случае)' Лагранжем в 1808 г. (см. [230, 231]).
Пример
Пусть М = IR2", со = dp/ A dq', Н = Hip, q). Тогда уравнения динамики
имеют вид обычных уравнений Гамильтона
ЪН ^ЪН
Р/ = -ТГ- %*=-.. (1-3.26)
V э рк
Пусть Xfj - строго гамильтоново векторное поле, порожденное функцией
Гамильтона Н. Тогда, как нетрудно видеть, поток, генерируемый Хн,
оставляет функцию Н инвариантной:
Хн • Ч = cj(Xh, Хн) = 0. (1.3.27)
Иными словами, функция Н (энергия системы) не зависит от времени -
является интегралом движений уравнений динамики.
