Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
простых компактных групп Ли.
Отметим, что описание орбит компактных простых групп Ли было дано
А. Борелем [126]. Все эти орбиты являются кэлеровыми компактными
многообразиями.
Задачи
1. Найти орбиты наименьшей положительной размерности для групп SO .(4) и
SO (6).
2. Найти орбиты коприсоединенного представления для группы вещественных
верхних треугольных матриц четвертого порядка с единицами на главной
диагонали.
27
1.5. Отображение момента
Как хорошо известно, сохранение импульса и момента количества движения
механической системы связано с инвариантностью этой системы относительно
трансляций и вращений. В настоящем'разделе мы установим такую связь для
общего случая, когда фазовое пространство рассматриваемой системы
является симплектическим многообразием, инвариантным относительно
действия произвольной группы Ли. Такая теория была развита в работах [64,
32, 243].
Пусть М - многообразие, f (М) - пространство функций на М, снабженное
пуассоновой структурой (скобкой Пуассона), и на М действует группа Ли G.
Тогда на М действует также алгебра Ли $ группы G (как алгебра Ли
векторных полей на М). Иными словами, элементу | G & мы ставим в
соответствие векторное поле Х% на М. Предположим дополнительно, что
скобка Пуассона { ,} на $¦ (М) такова, что каждому полю Х% мохаго
сопоставить функцию НЕ на М такую, что в локальных координатах х1
*'={%*'} (1.5.1)
и
Щ.+ 1)=Щ + Нп. (1.5.2)
Такое действие группы G назовем гамильтоновым, если имеет место равенство
*)
Нн>п] ={Н^,Нп} . (1.5.3)
Иными словами, действие группы G на М называется гамильтоновым, если
отображение ? является гомоморфизмом алгебры Ли $ в алгеб-
ру Ли &(М) относительно скобки Пуассона.
Следующий случай встречается довольно часто. ПустьМ = Т*Х (где X -
гладкое многообразие), G - группа диффеоморфизмов X, действие которой мы
считаем распространенным на Т*М, со = d6 - стандартная симплек-тическая
структура на М (6 = Pjdq1). Функцию Гамильтона однопараметрической
подгруппы gt группы G определим формулой
ЯЕ(*)= 0 (?(*))= <*.*>, Н*)= - (*,• *)( ," (1-5.4)
dt 11 = о
Л
| - поднятие | на Т*Х.
Тогда построенное действие группы G гамильтоново [1]. Заметим, что в
случае гамильтонова действия группы функция Гамильтона НЕ (х)
*) В книге Арнольда [1] такое действие называется пуассоновским. В
настоящее время большее распространение получил термин ''гамильтоново
действие", который мы и будем использовать в дальнейшем. Отметим еще, что
возможность негамильтонова действия данной группы Ли определяется ее
когомологиями: если Я1 (S?, IB) = 0, то действие всегда гамильтоново.
28
зависит от элемента алгебры Ли линейно и поэтому может быть записана в
виде
ЯЕ(х) = <д(х), {>, (1.5.5)
д(х) - элемент пространства $*, дуального к 3 , ( д, | > - значение
функционала д в точке ? G $ . Таким образом, в случае гамильтонова
действия группы G на М возникает отображение
д: М-> <§*, (1.5.6)
называемое отображением момент [64]. Отображение момента обладает важным
свойством эквивариантности.
Теорема 1.5.1 [1, 40]. Гамильтоново действие связной группы Ли G при
отображении момента д переходит в коприсоединенное действие группы G на
пространстве $*, дуальном к ее алгебре Ли $ . Иными словами, коммутативна
диаграмма
(1.5.7)
Доказательство. Пусть элемент g принадлежит однопараметрической подгруппе
{gt }, генерируемой элементом г) алгебры Ли 3 , и пусть ad^j -
коприсоединенное представление алгебры 3 . Тогда
(ad* д (х),| > = (д (х), [|, г?] > = HU vj (х) = Xv ¦ tf?(x) = (Lxv ¦ д
(х). | >.
(1.5.8)
Отсюда следует, что ad,] -д(х) = Lx • д(х), а это равенство эквивалентно
коммутативности диаграммы (1.5.7) для инфинитезимальных преобразований
группы G. Коммутативность диаграммы (1.5.7) для конечных преобразований
группы G доказывается теперь без труда.
Следствие. Пусть функция Гамильтона #(х) рассматриваемой системы
инвариантна относительно гамильтонова действия группы G на М. Тогда
момент д(х) является первым интегралом этой гамильтоновой системы.
Отметим еще, что из эквивариантности отображения момента следует, что
множество
Л* = {• х: g пробегает всю группу G)
при отображении момента д переходит в орбиту ко присоединенного
представления
0д(х) = { Ad*Of) ¦ Р(х) '¦ S пробегает всю группу G } .
Отметим еще следующую полезную теорему [40], обобщающую формулу (1.5.4)
Теорема 1.5.2. Пусть - симплектическое действие G на М. Предположим, что
симплектическая форма со на М является точной: со = d6,
29
и что действие Ф? оставляет в инвариантной: Ф/0 = в для всех g е G. Тогда
отображение момента д: М -> 3 * определяется формулой
<д(х),|> = <0 (х), *Е(*)>.
Важным специальным случаем этой теоремы является случай, когда М - T*G и
G действует сама на себя левыми или правыми сдвигами, что приводит к двум
коммутирующим гамильтоновым действиям G на Л/. Если мы отождествим T*G с
G X 3* при помощи левых сдвигов, то соответствующие отображения момента
д, (левое) идг (правое) даются формулами
