Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
Далее, поскольку векторные поля можно рассматривать как дифференциальные
операторы 1-го порядка на М, для них определена операция коммутирования,
относительно которой они образуют алгебру Ли. Эта алгебра Ли
бесконечномерна. Отметим, что коммутатор двух гамиль-. тоновых векторных
полей является строго гамильтоновым векторным полем. Таким образом,
строго гамильтоновы векторные поля образуют инвариантную подалгебру этой
алгебры. Факторалгебра одной алгебры по другой является алгеброй
одномерных когомологий Я1 (М, [R) пространства М.
Отметим еще, что в рассматриваемом нами случае для двух произвольных
функций F и Н на М имеет место тождество
X{F,H) = [Хр, х"]. (1.3.28)
1.4. Однородные симплектические многообразия
Нас будут интересовать гамильтоновы системы, обладающие достаточно
большим числом интегралов движения. Существование таких интегралов во
всех известных случаях является следствием симметрии рассматриваемой
динамической системы, хотя иногда эта связь и не является такой простой,
как, например, связь, описываемая теоремой Э. Нётер. Поэтому нас будут
интересовать в первую очередь симплектические многообразия, обладающие
симметрией.
Определение. Симплектическое многообразие (Л/, со) называется однородным,
если оно допускает транзитивное действие некоторой группы Ли G,
действующей как группа симплектических преобразований. Иными словами,
действие группы G-Ф^: М -> М является симплектическим (оставляет
инвариантной форму со, Ф|со = со).
При этом однопараметрической подгруппе группы G отвечает фазовый поток на
М, а элементу | алгебры Ли 'S отвечает гамильтоново поле Х^ на М. Если
все поля Х%, | являются строго гамильтойовыми и соответствующие им
функции Н% можно выбрать так, чтобы
= {НЬ Hr,), ' Hi + V = Щ + Hr, (1.4.1)
23
(т.е. чтобы соответствие | -> являлось гомоморфизмом алгебры Ли 3 и
алгебры Ли функций на М), то мы назовем М строго однородным
симплектическим многообразием [17], а действие группы Ли G на М -
гамильтоновым действием. Отметим, что для симплектического действия
группы Ли G на М в общем случае мы имеем вместо (1.4.1) формулу
//ltiTl) ={Щ, Я"}.+ с(|, V). (1.4.1')
Существование неустранимой величины с(?, р) связано с нетривиаль-ностью
второй группы когомологий алгебры Ли 3.
Оказывается, что класс однородных симплектических многообразий по
существу совпадает с классом орбит коприсоединенного представления группы
Ли.
Теорема 1.4.1. [17]. Любое однородное симплектическое многообразие,
группой движений которого является связная группа Ли G, локально
изоморфно орбите коприсоединенного представления самой группы G или ее
центрального расширения с помощью tR. При этом любая орбита группы G
является строго однородным симплектическим многообразием.
В качестве иллюстрации этой теоремы рассмотрим двумерный тор М = Г2. Он
является однородным симплектическим многообразием, на котором транзитивно
действует двумерная группа трансляций G. Однако М не является орбитой
коприсоединенного представления группы G - эта группа абелева^и все ее
орбиты коприсоединенного представления нульмерны. Пусть G - центральное
расширение группы G - так называемая группа Гейзенберга-Вейля (ее алгебра
Ли порождена тремя элементами
еи е2, еъ\ [еи е2] = е3, [еи е3] = [е2, е3] = 0).
У группы G есть орбиты коприсоединенного представления типа М = [R2; тор
Т2 получается из М путем факторизации по дискретной подгруппе Г
группы G и Лишь локально изоморфен орбите Mi
Перейдем к более подробному рассмотрению однородных симплектических
многообразий.
Орбиты коприсоединенного представления групп Ли. Пусть G - группа Ли, 3 -
ее алгебра Ли, 3* - пространство, дуальное к 3, т.е. пространство
линейных функционалов на 3. Если алгебра Ли 3 реализована в виде алгебры
левоинвариантных векторных полей на G, то естественно реализовать 3* в
виде пространства левоинвариантных дифференциальных форм на
С.Коприсоединенное представление Ad* (%) группы G действует при этом в
пространстве 1-форм с помощью правых сдвигов. Отметим, что в случае
простой группы мы можем идентифицировать 3 и 3* с помощью метрического
тензора Киллинга-Картана: gtj = -С^Ср, а в случае матричной группы можем
представить линейный функционал 1 на $как 1{Х) = tr (АХ) для некоторого A
G 3.
Рассмотрим группу G как однородное пространство, на котором сопряжениями
действует эта же группа
Фг: h -> ghg~l. (1.4.2)
i*
Такое действие переводит единичный элемент е группы G в себя, Фg: е
Поэтому линеаризация действия в точке h = е определяет действие группы G
на ее алгебре Ли. Это и есть присоединенное представление группы G,
Ad(g): & -> i§. Присоединенное представление индуцирует действие Ad*(?)
группы G в пространстве $*. Это и естькоприсоединенное представление
группы G.
Пусть f - точка пространства $*. Действуя на нее преобразованиями Ad*(g),
где g пробегает всю группу, получаем орбиту Of, проходящую через точку f.
Как уже отмечалось выше, любая орбита является однородным и, более того,
