Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
Zf,j = 1, . . : , к, состоит в том, что уравнения (1.8.19) должны иметь
достаточное число полюсных разложений по Г, так чтобы каждая координата
Zj могла обращаться в бесконечность по крайней мере один раз, причем эти
разложения должны зависеть от (к - 1) параметра. Этот критерий был
применен в работах [112, 113] к уравнениям Эйлера на алгебре so (4) и
цепочкам Тоды.
1.9. Метод проектирования
Как было показано в разделе 1.7, гамильтоновы системы, обладающие
симметрией, можно редуцировать к системам с меньшим числом степеней
свободы.
Движение на приведенном фазовом пространстве при этом, однако,
усложняется, а симметрия, которая раньше была явнрй, теперь становится
скрытой.
Если нас интересует задача явного интегрирования уравнений движения
вполне интегрируемой гамильтоновой системы, то, к сожалению, мы не можем
воспользоваться теоремой Лиувилля, которая, не являясь конструктивной, не
указывает, как можно осуществить процесс интегрирования.
Для решения этой задачи в ряде случаев удается использовать так
называемый метод проектирования. Этот метод был введен в работе [94] и
использован для решения ряда задач в работах [94, 95, 97, 256, 257].
Основная идея метода проектирования обратна идее метода редукции.
Метод проектирования состоит в рассмотрении новой динамической системы
(М, со, Я) в фазовом пространстве М большей размерности. При этом
требуется выполнение условий:
1) интересующая нас система (М, со, Я) является проекцией тг системы
(М, со, Я);
44
2) уравнения динамики для системы (М, со, Н) интегрируются в явном виде;
3) проекция 7Г также задается явными формулами.
Дадим абстрактную формулировку метода.
Пусть мы имеем динамическую систему на многообразии М = { х } ht: М^М, xt
= ht x0. (1.9.1)
Пусть существуют динамическая система на другом многообразии М = = {>¦}
ht: М^М, yt = ht-y0 (1.9.1')
и проекция тг: М -*М такие, что
xt = iryt = nhty0. (1.9.2)
Пусть р - отображение М -+М такое, что тг • р = I (/ - тождественное
преобразование на М) . Тогда динамику на М можно найти по формуле
xt = irhtp x0. (1.9.3)
Для того, чтобы эта формула была справедлива, необходимо выполнение
условия самосогласования:
если nyi = тту2 при Г=0 (ух.Уг^М), (1.9.4)
то irhtyl =яht у2 при всех Г.
Это условие будет выполняться, например, если на М действует группа Ли G
= {#}, причем ее действие коммутирует с фазовым потоком Л, и любое
множество Мх = п~1х является орбитой этой группы в пространстве М. Сюда
относится, например, случай редукции динамических систем с симметрией,
рассмотренный в разделе 1.7. Здесь ht зависит от момента с: ht = h°t , М
= Мс = д~'с, G = Gc - подгруппа, оставляющая с на месте.
Проиллюстрируем теперь этот метод на простейших примерах. Обобщение этих
примеров дано в гл. 3 и 4.
1. Рассмотрим свободное движение частицы единичной массы на плоскости
(<7i, <7г ) ¦ В этом случае
M = IR4 = {(р, <7): p = (pi,p2), Ч = {Ч\,Яг)), (1.9.5)
~ 1 1 2 сo = dpi Adqt + dp2 Л dq2, Н = - р = - (pt + р2).
2 2
В качестве проекции тг возьмем стандартную радиальную проекцию:
,----- " pq
^(р.ч)=(р. я), Я = г = \Jq\ + <72, Р=Рг= -----------• (1.9.6)
Я
Тогда после проектирования мы приходим к системе { М, со, Н}, где М=
{(р,я): <7>0}, со - dp A dq,
H = Nt = HP2 +12/я2)- , (L9'7)
Здесь I2 = (qtp2 - q2P\)2 - интеграл движения системы (М, со, Н). При
этом, как нетрудно проверить, условие самосогласования (1.9.4) выпол-
45
няется. (Этот факт является следствием инвариантности системы, (М, со, Я)
относительно группы G = SO(2) - группы вращений плоскости.) В то же время
уравнения движения системы {М, со. Я} легко интегрируются, и мы получаем
q(r)=a+br, (1.9.8)
причем без ограничения общности мы можем считать, что (а -Ь) = 0. Отсюда
сразу же находим решение уравнений движения для системы { М, со, Я } :
b2t
q(t) = s/a2 + b2t2, p(t)= ------------- (1.9.9)
y/a + b t
Обобщение этой конструкции на случай большего числа степеней свободы дано
в работе [94] (см. главу 3).
2. Рассмотрим на той же плоскости (qt, q2) двумерный изотропный
осциллятор с частотой v. Тогда М и со остаются теми же, что и в
предыдущем примере, а гамильтониан имеет вид
Я = - (р2 + v2q2). (1.9.10)
2
Оставляя без изменения проекцию тг, приходим к системе [М, со, Я} с
гамильтонианом
Ht = HP2 + l2/q2 +"'V). (1.9.11)
Отсюда сразу же получаем b
q(r) = a cos vt + - sin vt, (ab) = 0 (1.9.12)
v
J pi
q(t) = \f a2cos2vt + - sin2^r. (1.9.13)
v
Относительно обобщения см. [94] и главу 3.
3. Рассмотрим движение по геодезической на верхней плоскости
двухполостного гиперболоида (метрика на гиперболоиде индуцирована
метрикой объемлющего пространства)
ВНР = { х : х2 =xl -х\ -х\ = 1, х0 > 0}, (1.9.14)
а проекцию тг определим формулой
J
тг: х -+q = Arch х0. (1.9.15)
Тогда после проектирования приходим к системе {М, со, Я) с гамильтонианом
H = p2l2 + g2sh~2q. (1.9.16)
Уравнения для геодезического движения на гиперболоиде легко интегри-
руются:
x(r) = ach г+bsh г, (1.9.17)
