Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Глава XIII ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИББСА-АППЕЛЯ
§ 13.1. Плоское движение частицы. Применим сначала уравнения Гиббса — Аппеля к исследованию плоского движения частицы. В качестве координат возьмем г, q:
г2 = х2 + у2, dq = X dy — у dx. (13.1.1)
Здесь г — лагранжева координата, a q — квазикоордината. Имеем
rr = XX + уу, q = ху — ух. (13.1.2)
Следовательно,
rV + 'q2 = г2 (х2 + у2). (13.1.3)
Далее,
г'г + г2 = XX + уу+ X2 + у2. (13.1.4) Учитывая (13.1.3), находим
хх+уу=гг — (13.1.5)
С другой стороны,
ху — ух =q, (13.1.6) так что из (13.1.5) и (13.1.6) следует, что
r2(x2 + y2) = q2 + (r'r—J-)2. (13.1.7)
Таким образом, окончательно получаем
® = т*фЧ ^)=Im {(Г—J)2 + -J-}.. (13.1.8)
Поскольку члены, не зависящие от ускорения, можно опустить, вместо (13.1.8) можно написать
= т т ( г'2 - A q2'r + ±q2). (13.1.9)
Выражение для @ можно вывести и непосредственно, если заметить, что радиальная составляющая ускорения равна
• • • . • „2
Г — 7*9 = Г--Vi
г3
а окружная составляющая равна qlr.
Если радиальную и окружную составляющие силы обозначить соответственно через R и S, то работа, совершаемая на виртуальном перемещении, будет равна
R8r+-^8q (13.1.10)
®
•§ 13.3]
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
221
и уравнения Гиббса — Аппеля примут вид
т =R, mq = rS. (13.1.11)
В задаче о движении по центральным орбитам силовое поле радиальное
(S = 0), и мы имеем первый интеграл q = а. Первое уравнение принимает теперь вид
т ('r'—?)=Д' (13.1.12)
и если R = —m~dr~' то сРазУ получаем известный первый интеграл (5.2.39):
г2 -f 27+-^- = 2?.
§ 13.2. Аналог теоремы Кёнига. Для любой механической системы справедлива теорема об ускорениях, аналогичная известной теореме Кёнига {7.1.2) о скоростях. Функцию Гиббса @ можно представить в виде суммы двух слагаемых: одного, включающего только ускорение центра тяжести G системы, и другого, зависящего только от ускорений частиц системы относительно центра тяжести. Полагая
X = I + а, iy = T] + ?, z = ?+y,
где х, у, z — декартовы координаты частицы, получаем (см. § 7.1) следующее выражение для функции Гиббса:
@ =~M(i2 + 'yf + '^) + ~Sm(a2 + '^ + t). (13.2.1)
Это следует из основного свойства центра тяжести, согласно которому
Sma = Sm$ = S ту = 0.
Интересен частный случай, когда система представляет собой одно твердое тело. Если система состоит из нескольких твердых тел, то обычно удобнее (как и в случае теоремы Кёнига) применять теорему к каждому твердому телу в отдельности, а не ко всей системе в целом.
§ 13.3. Плоское движение. Для твердой пластинки, движущейся в своей плоскости, имеем
@ = у Mf +1 Sm (г2ё2 + rW), (13.3.1)
где / — ускорение центра тяжести G, а г, 8 — полярные координаты относительно системы осей, сохраняющих неизменное направление, с началом в центре тяжести. Опуская несущественные слагаемые, можем написать
@ = уМ/2 + у/ё2. (13.3.2)
Здесь через / обозначен момент инерции пластинки относительно центра тяжести.
В качестве конкретного примера рассмотрим качение однородного твердого цилиндра радиуса а по внутренней поверхности неподвижного полого цилиндра радиуса Ъ. Оси цилиндров пусть будут горизонтальны, поверхности их будем считать шероховатыми, исключающими проскальзывание,
222
ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИББСА — АППЕЛЯ
[Гл. XIII
и пусть во все время качения цилиндры касаются друг друга. В данном случае к = 1. Точка А' на поверхности катящегося цилиндра (рис. 36) в положении равновесия совпадала с наинизшей точкой А неподвижного цилиндра, так что длина дуги А'В окружности катящегося цилиндра равна длине дуги AB окруяшости неподвижного цилиндра, j Условие чистого качения в обозначениях рис. 36 запишется в следующем виде:
а (8 + ф) = Ь6, или аФ = с9, (13.3.3)
где с = Ъ — а. Функция Гиббса имеет вид
@ = уM (/О2 + с204) + у (у MaA фЧ (13.3.4) Рис. 36.
Выразим ее через одну составляющую ускорения (поскольку к = 1). Опуская несущественные слагаемые, находим
@ = -|Мс292. (13.3.5) Работа заданных сил (силы тяжести) на виртуальном перемещении равна
MgO (с cos 9) = —Mgc sin 0 69. (13.3.6) Уравнение движения запишется в виде
у Mc2O= — Mgc sin 9
или
9+ у у sin 9 = 0. (13.3.7)
Оно показывает, что угол 9 изменяется так же, как угол отклонения маятни-„3
ка длиной у- с от направленной вниз вертикали.
§ 13.4. Движение твердого тела. Для нахождения функции Гиббса воспользуемся теоремой § 13.2. Сначала вычислим @ для твердого тела с одной неподвижной точкой. Возьмем подвижную прямоугольную систему координат с началом в неподвижной точке О. Пусть 8 будет вектор угловой скорости этой системы, а to — вектор угловой скорости тела. Радиус-вектор произвольной частицы тела обозначим через г, скорость ее — через и и ускорение — через /. Все эти векторы измеряются относительно подвижной системы координат (точнее говоря, относительно неподвижной системы, совпадающей в каждый данный момент с подвижной системой). Имеем следующие соотношения:
